Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа (200,00 руб.)

Стр.6

Стр.7

Стр.8

Стр.9

Стр.10

Стр.11

Стр.12

УДК 517.9 ББК 22.161 Ê30 Авторы: È.Â. Àñòàøîâà, Ñ.Ñ. Åæàê, Å.Ñ. Êàðóëèíà, В.А. Никишкин, М.Ю. Тельнова, А.В. Филиновский Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений МГУ имени М.В. Ломоносова А.А. Коньков доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций и функционального анализа МГУ имени М.В. Ломоносова А.А. Шкаликов Научные редактор ы-со став ители: доктор физико-математических наук, профессор И.В. Асташова кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Никишкин доктор физико-математических наук, профессор А.В. Филиновский Ответств енный редактор се рии ректор Московского государственного университета экономики, статистики и информатики (МЭСИ), доктор экономических наук, профессор Н.В. Тихомирова Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили, кандидат юридических наук, доктор экономических наук, профессор, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники К30 Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа: íàó÷. издание / [È.Â. Асташова и äð.]; под ðåä. È.Â. Асташовой. — Ì.: ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2012. — 647 ñ. ISBN 978-5-238-02368-7 Агентство CIP РГБ Книга объединяет круг вопросов, связанных с исследованием качественных свойств решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задач для уравнений в частных производных и связанных с ними спектральных задач. Содержатся подробные доказательства результатов, полученных авторами как классическими, так и оригинальными методами исследования. Результаты могут быть полезны как студентам и аспирантам, начинающим знакомство с качественной теорией дифференциальных уравнений и краевых задач, так и специалистам по дифференциальным уравнениям и функциональному анализу. ББК 22.161 ISBN 978-5-238-02368-7 © ИЗДАТЕЛЬСТВО ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ, 2012 Принадлежит исключительное право на использование и распространение издания (ÔÇ ¹ 94-ÔÇ от 21 июля 2005 ã.). © Оформление «ÞÍÈÒÈ-ÄÀÍÀ», 2012

Стр.6

Оглавление Введение Сведения об авторах I. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (Асташова И.В.) Введение 1. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1.1. Оценки решений уравнений с квазипроизводной 1.3. Оценки решений квазилинейного уравнения с младшими производными 2. Равномерные оценки решений квазилинейных дифференциальных неравенств 2.1. Оценки решений неравенства с квазипроизводной 2.2. Оценки решений квазилинейных неравенств с младшими производными 3. Критерий колеблемости всех решений квазилинейных дифференциальных уравнений 4. Асимптотическая эквивалентность нелинейных дифференциальных уравнений 7 13 19 22 25 35 35 1.2. Представление линейного дифференциального оператора в виде оператора квазипроизводной 48 57 61 61 64 67 84

Стр.7

8 ОГЛАВЛЕНИЕ 4.1. Существование асимптотически полиномиальных решений у квазилинейных дифференциальных уравнений 4.2. Асимптотическая эквивалентность нелинейных диффеpенциальных уpавнений с правой частью 5. Асимптотическое поведение знакопостоянных решений нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка 5.1. Существование при n  2 решений, имеющих вертикальную асимптоту со степенной асимптотикой 5.2. Кнезеровские решения при n  2 5.3. Решения с вертикальной асимптотой при n = 3 и n = 4 5.4. Кнезеровские решения при n = 3 и n = 4 5.5. Поведение знакопостоянных решений при убывании аргумента 6. Знакопеременные решения 6.1. Существование колеблющихся решений для любого n > 2 6.2. Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнений 3-го порядка при возрастании аргумента 6.3. Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнения 3-го порядка при убывании аргумента 6.5. Асимптотическое поведение решений уравнений 4-го порядка при yyIV  0 7. Классификация решений уравнений третьего и четвертого порядков 7.1. Классификация решений уравнений третьего и четвертого порядков в случае регулярной нелинейности 84 92 97 97 110 116 124 134 136 136 137 155 6.4. Асимптотическое поведение знакопеременных решений уравнений 4-го порядка при yyIV  0 158 168 186 186

Стр.8

ОГЛАВЛЕНИЕ 7.2. Существование решения с заданной областью определения уравнения третьего порядка 7.3. Случай сингулярной нелинейности 8. Задача Н.А. Изобова о кнезеровских решениях сингулярного нелинейного дифференциального уравнения второго и третьего порядков 8.1. Постановка задачи 8.2. Ответ к задаче Н. A. Изобова при n = 3 8.3. Доказательство основных результатов План доказательства Основная часть доказательства 10. Асимптотическое поведение решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка 11. Асимптотическое поведение решений одномерного уравнения Шредингера 11.1. Фазовое пространство 11.2. Динамическая система на фазовом пространстве для постоянной p(x) 11.3. Случай u0 = ±i. Замкнутые траектории 11.4. Случай комплексных p0 11.5. Случай непостоянной p(x) 11.6. Оценки Список литературы II. Стабилизация и спектр в задачах распространения волн (Филиновский А.В.) Введение 1. Задача Коши 1.1. Одномерное волновое уравнение. Плоские волны 1.2. Многомерное волновое уравнение. Сферические средние 1.3. Двумерное волновое уравнение. Диффузия волн 9 192 201 205 205 206 207 207 209 9. Равномерные оценки решений нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка 215 229 259 259 261 262 263 268 270 273 289 291 292 292 294 297

Стр.9

10 2. Смешанная задача и спектральные разложения 2.1. Смешанная задача и энергетическое тождество 2.2. Обобщенное решение из энергетического класса 2.3. Оценка сверху весовой энергии 2.4. Оценка снизу весовой энергии 3. Спектр оператора Лапласа и поведение локальной энергии 3.1. Спектральное представление обобщенного решения 3.2. Почти-периодичность решений в ограниченной области 3.3. Поведение локальной энергии при наличии точечного спектра 3.4. Непрерывность спектра и убывание средних локальной энергии 3.5. Абсолютная непрерывность спектра и убывание локальной энергии 3.6. Непрерывность спектра полигармонического оператора ОГЛАВЛЕНИЕ 299 299 300 301 306 308 308 318 319 321 327 331 4. Стационарная задача с комплексным параметром 343 4.1. Уравнение Гельмгольца в верхней полуплоскости. Теорема Пэли-Винера 4.2. Свойства решений уравнения Гельмгольца верхней полуплоскости 4.3. Интегральное соотношение 4.4. Области со звездными границами 4.5. Регулярно расширяющиеся области 4.6. Поведение решений в окрестности нуля 5. Стабилизация решений нестационарных задач 5.1. Рассеяние энергии в областях со звездными границами 343 345 347 351 353 362 4.7. Уравнение Пуассона в весовых пространствах 370 4.8. Асимптотические разложения 383 389 389

Стр.10

ОГЛАВЛЕНИЕ 5.2. Скорость убывания локальной энергии в областях со звездными границами 5.3. Рассеяние энергии в регулярно расширяющихся областях 5.4. Скорость убывания локальной энергии в регулярно расширяющихся областях Список литературы III.Асимптотика решений эллиптических краевых задач (Никишкин В.А.) Введение 1. Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в области типа многогранника 2. Оценки решений эллиптических краевых задач в слое 11 391 406 415 450 464 465 467 477 2.1. Постановка задачи и основные обозначения 477 2.2. Формулировка основных результатов 2.3. Эллиптические задачи в слое 2.4. Переменные коэффициенты 2.5. Оценки модуля решения 3. Асимптотика решений краевых задач для уравнения Пуассона в слое 4. Положительные решения сингулярных краевых задач для уравнения ∆u = uk 4.1. Положительные решения обыкновенного дифференциального уравнения типа Эмдена – Фаулера второго порядка 4.2. Многомерный случай Список литературы IV.Оценки первого собственного значения некоторых задач Штурма — Лиувилля с интегральным условием на потенциал Введение 1. Оценки первого собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с условиями Дирихле (Ежак С.С.) 477 480 483 484 486 491 491 499 502 506 507 517

Стр.11

12 ОГЛАВЛЕНИЕ 1.1. Постановка задачи и основные обозначения 517 1.2. Формулировка основных результатов 1.3. Оценки для задачи с положительным потенциалом 1.4. Оценки для задачи с отрицательным потенциалом 2. Оценки первого собственного значения задачи Штурма — Лиувилля с краевыми условиями третьего типа (Карулина Е.С.) 2.1. Оценки сверху минимального собственного значения 2.2. Оценки снизу минимального собственного значения 2.3. Графическая интерпретация полученных результатов для симметричных краевых условий 3. Оценки первого собственного значения задачи Штурма—Лиувилля с условиями Дирихле и весовым интегральным условием (Тельнова М.Ю.) 518 519 534 560 560 580 594 608 3.1. Постановка задачи и основные обозначения 608 3.2. Оценки первого собственного значения снизу 613 3.3. Оценки первого собственного значения сверху 620 3.4. Достижимость Mα,β,γ при γ > 1, 0  α < 2γ −1, 0  β < 2γ −1 635

Стр.12