МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ПРЕДЕЛ БЕЗ СЕКРЕТОВ
Учебно-методическое пособие
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2015
Стр.1
Введение
Настоящая методическая разработка не заменяет учебник, но позволяет
углубить понимание предела последовательности и предела функции.
В работе приведены только основные определения и теоремы, без которых
нельзя приступить к решению задач. Задачи можно условно разделить на
два типа: это задачи теоретические, направленные на понимание теории,
и задачи вычислительные. В задачах на вычисление предела приведены
основные типовые приемы вычислений, комбинируя которые и проявляя
творчество можно будет приступать и к более серьезным задачам.
§ 1. Предел последовательности
Отображение f : N → R называется числовой последовательностью.
Обозначим f(n) = xn, тогда последовательность записывается в
виде x1,x2, . . . , xn, . . . (сокращенно {xn}). Числа x1,x2, . . . , xn, . . . называются
членами последовательности, xn = f(n) называется общим членом
последовательности.
Определение 1.1. Число a называется пределом последовательU(a,
ε) окрестность точки a радиуса ε.
Определение 1.2 (в логических символах): limn→∞
ности {xn}, если для любого числа ε > 0, найдется номер n0 ∈ N такой,
что для всех номеров n > n0 будет выполнено неравенство |xn −a| < ε.
Заметим, что |xn −a| < ε⇔a−ε < xn < a+ε⇔xn ∈ U(a, ε), где
xn = a ⇔
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 : |xn −a| < ε.
Определение 1.3 (геометрическая форма). Число a называется
пределом последовательности {xn}, если для любой, заранее выбранной,
окрестности U(a, ε) найдется номер n0 ∈ N, такой что все члены
последовательности с номерами n > n0 будут принадлежать U(a, ε).
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n > n0 : xn ∈ U(a, ε).
Замечание. Понятно, что во всех случаях n0 может зависеть от ε.
Определение 1.4 (1.3 в логических символах): limn→∞
Понятие окрестности точки a можно распространить на понятие окрестности
бесконечно удаленной точки:
x ∈ U(+∞,E)⇔x ∈ (E,+∞)⇔E < x < +∞,
x ∈ U(−∞,E)⇔x ∈ (−∞,−E)⇔x < −E,
x ∈ U(∞,E)⇔x ∈ (−∞,−E) ∪ (E,+∞)⇔|x| > E.
3
xn = a⇔
Стр.3
Значит последовательность xn убывающая, начиная с первого номера. Далее
очевидно, что xn = 2n
n! 0. Это означает, что последовательность
ограничена снизу. В силу теоремы Вейерштрасса такая последовательность
имеет предел, равный некоторому a. Пока еще мы не знаем, что a = 0.
Докажем, что a = 0 :
0 xn = 2n
n! = 2n−1
мер 1). Откуда xn−1 ·
nlim
→∞
(n−1)! ·
2
n = xn−1 ·
2
n.
По доказанному xn → a, тогда xn−1 → a, limn→∞
xn = 0.
Теорема о действиях с последовательностями.
Пусть limn→∞
xn = a, limn→∞
→∞
nlim (xn +yn) = a+b,
nlim (xnyn) = ab,
→∞
nlim
→∞
xn
yn
2
n → a · 0 = 0. По теореме (о двух полицейских)
2
n = 0 (см. приyn
= b, т. е. xn, yn сходящиеся, тогда
= a
b , если b ̸= 0.
Следствие 1. Есть и другие действия с последовательностями, вытекающие
из предыдущей теоремы и свойств бесконечно малых и бесконечно
больших (см. учебник).
1.1. Пусть xn →a ̸= 0, yn →0, тогда xn
1.2. Пусть xn →a ̸= 0, yn →∞, тогда xnyn →∞.
1.3. Пусть xn →a, yn →∞, тогда xn +yn →∞.
1.4. Пусть xn →a, yn →∞, тогда xn
yn →∞.
yn →0.
Неопределенные выражения
ным выражением вида ∞−∞. Для вычисления надо сделать подходящие
дополнительные действия.
Другие виды неопределенных выражений: ∞−∞, 0 ·∞, 0
1∞, 00, ∞0.
6
∞
Если xn → +∞, yn → +∞, то xn − yn называется неопределен0,
∞,
Стр.6
1. limn→∞ 2n2 +n+1 = (∞) = limn→∞
3n2 +1
∞
на старшую степень = limn→∞
2. limn→∞
= limn→∞
Другие методы раскрытия неопределенностей будут изложены при
√n+√n−1 = limn→∞
√n+√n−1 = 0 (по следствию 1.4).
1
вычислении предела функции.
§ 2. Последовательности. Верхний и нижний пределы
последовательности
Определение. Последовательность, составленная из членов последовательности
{xn} и в которой порядок следования элементов совпадает с
их порядком следования в исходной последовательности {xn}, называется
подпоследовательностью этой последовательности.
Теорема. Если последовательность имеет конечный или бесконечный
предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.
ходящаяся (см. пример 2).
Доказательство.
Пример 7. Доказать, что последовательность 1, 1
2, 1, 1
кой подпоследовательности равен 0. Выберем члены, стоящие на четных
местах 1, 1, 1, . . . . Предел такой подпоследовательности равен 1. В силу
вышеприведенной теоремы предел исходной последовательности не существует.
Выберем
члены, стоящие на четных местах 1
2, 1
3, 1
вводится понятие верхнего предела, нижнего предела.
Предел подпоследовательности называется частичным пределом.
7
3, 1, 1
4, . . . рас4,
. . . . Предел тасопряженное
выражение = limn→∞
n−n+1
(√n − √n−1) = (∞ − ∞) = умножить и разделить на
=
2+ 1
n + 1
3+ 1
n2
n2
(√n−√n−1)(√n+√n−1)
√n+√n−1
Основные приемы раскрытия неопределенностей
n2(
3+ 1
n2
n2(
= 3
2.
)
2+ 1
n + 1
) = сократить
n2
Для изучения последовательностей, предел которых не существует,
Стр.7
ности {xn} называется ее верхним пределом limn→∞
xn.
n→∞
Определение 2.2. Наибольший частичный предел последовательxn,
а наименьший частичный
предел последовательности {xn} называется ее нижним пределом
lim
Имеет место теорема, утверждающая, что у любой последовательности
существует как наибольший, так и наименьший частичные пределы.
Теорема 1а. Для того чтобы limn→∞
ство xn < b+ε.
2. Существует подпоследовательность {xnk
не существует.
следующих двух условий:
1. ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N такое, что для ∀n > n0 выполняется неравенТеорема
1б. Для того чтобы lim
n→∞
ство xn > a−ε.
2. Существует подпоследовательность {xnm
xn = 1+ n
n+1 cos nπ
Пример 2.1. Найти верхний и нижний пределы последовательности
2 .
}, такая что limm→∞
чения 0,−1, 0, 1, 0,−1, 0, 1, . . . . Последовательность n
xnm
= a.
Решение. cos nπ
2 при n = 1, 2, . . . последовательно принимает зналом
1, а значит, и любая ее подпоследовательность имеет пределом 1.
Чтобы получить возможно больший частичный предел, выберем n = 4k,
k = 1, 2, . . . . Тогда
n+1 имеет предеlim
xnk
k→∞
= lim
k→∞
(
1+ 4k
4k +1 cos 4kπ
2
Отсюда следует, что limn→∞
1+ n
n+1 cos nπ
По теореме доказано limn→∞
)
= lim
k→∞
(
1+ 4k
4k +1
)
= 2.
xn 2. Проверим пункт 1 теоремы 1а:
2 1+ n
n+1 < 2 < 2+ε для ε > 0.
xn = 2.
Аналогично доказывается, что lim
n→∞
8
xn = 0.
xn = a, достаточно выполнения
Замечание. Из п. 1 следует, что частичного предела, большего b,
}, такая что lim xnk
k→∞
= b.
xn = b, достаточно выполнения
следующих двух условий:
1. ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N такое, что для ∀n > n0 выполняется неравен
Стр.8