МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ¿
Ñ. È. Ìàðìî,
Ì. Â. Фролов
ЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Часть II
Специальная теория относительности
и электромагнитные явления
Учебное пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
Содержание
1. Релятивистская кинематика и механика свободной частицы 4
1.1. Максвелловская электродинамика и принцип
относительности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Принципы специальной теории относительности . . . . . . . . 7
1.3. Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Некоторые следствия из преобразований Лоренца . . . . . . . 12
1.5. Геометрический смысл преобразований Лоренца . . . . . . . . 15
1.6. Релятивистская механика. Функция Лагранжа свободной ча
стицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Импульс и энергия свободной частицы. Формула
Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8. Четырехмерные векторы и тензоры . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9. Тензорные свойства дифференциальных операций . . . . . . . 28
1.10. Примеры четырехмерных векторов . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11. Релятивистская природа силы Лоренца . . . . . . . . . . . . . 33
2. Электродинамика в релятивистских обозначениях
35
2.1. Четырехмерный вектор тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. Четырехмерный потенциал электромагнитного поля . . . . . . 36
2.3. Тензор электромагнитного поля. Преобразования Лоренца для
ïîëÿ. Инварианты поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Эффект Доплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5. Уравнения Максвелла в ковариантной форме . . . . . . . . . . 43
2.6. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля . . . . . . . 45
2.7. Функции Лагранжа и Гамильтона заряда в электромагнитном
поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8. Уравнение движения заряда в ковариантной форме . . . . . . 52
2.9. Вывод уравнений Максвелла из принципа наименьшего
действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Литература
58
3
Стр.3
тогда и решения уравнений (1.3) и (1.6) при одинаковых начальных условиях
будут тождественны в соответствии с принципом относительности.
В формулах (1.4), (1.5) отражено представление о взаимодействии тел,
которое предполагается справедливым в классической механике. Сила зави
сит от координат (и, возможно, скоростей) взаимодействующих тел, причем
координаты и скорости берутся в один и тот же момент времени. Это означа
ет, что, если положение одного из тел изменилось, второе тело почувствует
это изменение немедленно. Взаимодействие передается мгновенно, т.е. с бес
конечно большой скоростью.
Представление о бесконечной скорости распространения взаимодействий
(иногда говорят о распространении ¾сигналов¿) тесно связано с абсолютным
характером времени: сигнал, распространяющийся с бесконечной скоростью
из точки, где произошло событие, в тот же момент приходит во все точки
пространства, в том числе к часам каждой из ИСО, которые зарегистрируют
одинаковое время наступления события t′ = t′′ = · · · = t.
С возникновением электродинамики было естественным предположить,
что принцип относительности справедлив и для электромагнитных явлений.
Однако оказалось, что уравнения Максвелла не сохраняют своей формы
при преобразованиях Галилея ( 1.1). Несовместимость уравнений Максвел
ла и принципа относительности классической механики следует уже из того,
что теория Максвелла дает конечную величину c для скорости распростране
ния электромагнитных волн в вакууме. Но все ИСО, очевидно, равноправны
по отношению к вакууму (в частности, вследствие отсутствия материальной
среды в вакууме с ним нельзя связать систему отсчета, в которой бы он по
коился). Отсюда логически следует при допущении полного равноправия
всех инерциальных наблюдателей, что скорость света в вакууме должна
равняться одной и той же величине c во всех ИСО. Но, согласно классиче
ской механике, при переходе от одной ИСО к другой скорости преобразуются
по формуле (1.2).
Возникшее противоречие требовало сделать выбор между тремя возмож
ностями:
1) принцип относительности применим в механике и не применим в элек
тродинамике;
2) принцип относительности применим и в механике, и в электродинами
ке; при этом электродинамика в форме уравнений Максвелла неверна;
3) принцип относительности применим и в механике, и в электродинами
ке; законы механики в ньютоновской форме (а также преобразования коор
динат и времени при переходе в другую ИСО) требуют изменения.
Нековариантность уравнений электродинамики по отношению к преоб
разованиям Галилея выглядела естественной с позиций ¾эфирных¿ теорий,
вводивших представление об электромагнитном эфире и рассматривавших
6
Стр.6
электромагнитное поле как особого рода натяжения в нем (по аналогии с на
тяжениями в упругой среде). В этом случае уравнения Максвелла должны
быть справедливыми в единственной системе отсчета, связанной с эфиром.
Во всякой другой системе отсчета эфир будет двигаться, поэтому уравнения
электромагнитного поля должны содержать в качестве параметра скорость
движения системы отсчета относительно эфира. Таким образом, представле
ние об эфире оказывается несовместимым с принципом относительности Га
лилея. Однако многочисленные экспериментальные попытки обнаружения
эфира (среди которых наиболее известны опыт Майкельсона по обнаруже
нию ¾эфирного ветра¿ и опыт Физо по обнаружению увлечения эфира дви
жущимися телами) показали неустранимые противоречия в гипотезе эфира и
привели к отказу от нее. По современным представлениям электромагнитное
поле есть самостоятельный физический объект, не нуждающийся в специаль
ном носителе.
Попытки изменить уравнения Максвелла, чтобы сделать их ковариантны
ми относительно преобразования Галилея, привели к тому, что новые урав
нения противоречили опыту.
Таким образом, правильным оказался третий путь: для согласования прин
ципа относительности и электродинамики потребовалось пересмотреть имев
шиеся в физике представления о пространстве и времени и заменить преоб
разования Галилея на преобразования Лоренца.
Рекомендуемая литература: [1, ÷. I, 1], [2, ãë. 11, 1], [5, 1.1 1.4,
1.7 1.9].
1.2. Принципы специальной теории относительности
В основу новой теории были положены два постулата, которые могут
быть сформулированы следующим образом:
1. Все законы природы одинаковы во всех ИСО (а не только законы ме
ханики, как утверждал принцип относительности Галилея).
2. Скорость распространения любых взаимодействий конечна (напомним,
что в ньютоновской механике скорость распространения взаимодействий счи
талась бесконечной); максимальная (предельная) скорость передачи взаимо
действий (сигналов) совпадает со скоростью света в вакууме.
Совокупность этих двух постулатов называется принципом относитель
ности Эйнштейна. Из принципа относительности следует, очевидно, что
скорость распространения взаимодействий одинакова во всех ИСО. Это зна
чит, что в природе существует скорость, которая не изменяется при переходе
от одной ИСО к другой. Отсюда можно заключить, что преобразования Га
лилея, которые приводят к классическому закону сложения скоростей (1.2),
ошибочны.
7
Стр.7
Наряду с постулатами СТО принципиально важным для ее построения
является введение релятивистской системы отсчета. В ньютоновской меха
нике скорость распространения сигналов полагалась бесконечной, поэтому
для построения системы отсчета было достаточно одних часов. В СТО учи
тывается конечность скорости распространения сигналов, поэтому одними
часами в системе отсчета ограничиться нельзя. В СТО предполагают, что
в любой точке, где определяется время наступления события, в принципе
должны быть часы. В пределах одной ИСО устанавливается единое время
с помощью синхронизации часов. Эйнштейном было предложено проводить
синхронизацию часов с помощью световых сигналов. Из точки A в момент
времени t1 испускается короткий световой сигнал. Установив на часах в точке
B в момент прихода светового сигнала время t = t1+rAB/c (rAB известное
расстояние между A и B), синхронизируем часы в B с опорными часами в A.
Эйнштейновская процедура синхронизации такова, что может быть проведе
на в любой ИСО. Итак, в релятивистскую систему отсчета входят система
координат и набор закрепленных в этой системе синхронизированных часов.
Принципы СТО требуют отказа от классических представлений об аб
солютном характере времени. Их прямым следствием является относитель
ность промежутков времени между событиями: утверждение, что между дву
мя данными событиями прошел определенный промежуток времени, приоб
ретает смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утвер
ждение относится. В частности, события, одновременные в одной ИСО, будут
не одновременными в другой системе.
Для уяснения этого рассмотрим простой пример. Пусть поезд (система
K′) движется равномерно и прямолинейно вдоль платформы (система K). В
некоторый момент времени из середины поезда (точка A) в его начало (точка
C) и конец (точка B) отправляются световые сигналы. Поскольку скорость
распространения сигнала в системе K′, как и во всякой инерциальной систе
ме, равна c (в обоих направлениях), то сигналы достигнут равноудаленных от
A точек B и C в один и тот же момент времени (â системе K′). Однако те же
самые два события (приход сигнала в B и C) будут не одновременными для
наблюдателя в системе K. Действительно, скорость сигналов относительно
K согласно принципу относительности равна тому же c, и поскольку точка
B движется (относительно системы K) навстречу посланному в нее сигналу,
а точка C по направлению от сигнала (посланного из A в C), то в системе
K сигнал придет в точку B ðàíüøå, чем в точку C.
Рекомендуемая литература: [1, ÷. I, 1], [2, ãë. 11, 1], [3, 1], [4, 65,66],
[5, ãë. 2, 2.1 2.3].
8
Стр.8