МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
¾ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ¿
Ñ. È. Ìàðìî,
Ì. Â. Фролов
ЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Часть I
Электромагнитные явления в вакууме
Учебное пособие для вузов
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
Содержание
Введение
Микроскопическая теория электромагнитных явлений
в вакууме
1. Уравнения электромагнитного поля
5
6
6
1.1. Законы электромагнетизма как результат обобщения опыт
ных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля
в вакууме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Энергия электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Единственность решения уравнений Максвелла . . . . . . . . 20
1.5. Импульс электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Постоянное электрическое поле
25
2.1. Основные уравнения постоянного электрического поля . . . 25
2.2. Энергия электростатического поля . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Поле на больших расстояниях от системы зарядов. Диполь
ный и квадрупольный моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Система зарядов в квазиоднородном внешнем поле . . . . . 37
3. Постоянное магнитное поле
40
3.1. Основные уравнения. Закон Био Савара Лапласа . . . . 40
3.2. Магнитный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3. Магнитная энергия постоянных токов. Коэффициенты само
индукции и взаимной индукции . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4. Токи в квазиоднородном магнитном поле . . . . . . . . . . . 49
3.5. Силы в постоянном магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Переменное электромагнитное поле
52
4.1. Уравнения для электромагнитных потенциалов . . . . . . . 52
4.2. Электромагнитные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Плоские монохроматические волны . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4. Поляризация волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5. Запаздывающие потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6. Потенциалы Лиенара Вихерта . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
3
67
5.1. Поле системы зарядов на далеких расстояниях . . . . . . . 67
5.2. Дипольное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Стр.3
Микроскопическая теория
электромагнитных явлений
в вакууме
1. Уравнения электромагнитного поля
1.1. Законы электромагнетизма как результат
обобщения опытных данных
Закон сохранения заряда. Способность элементарных частиц, мик
рочастиц и макротел участвовать в электромагнитном взаимодействии ха
рактеризуется электрическим зарядом, причем существуют заряды двух
видов положительные и отрицательные. Тела с одноименными зарядами
отталкиваются, с разноименными притягиваются. Опыт показывает, что
во всех явлениях природы выполняется закон сохранения заряда: заряд не
может ни возникать из ничего, ни исчезать, а только перераспределяется
между телами. Это значит, что полный заряд Q в некоторой области про
странства может измениться только за счет того, что заряженные частицы
пересекают границу области. Введем понятие полного тока J как количе
ства заряда, который пересекает границу области в единицу времени t. Бу
дем ñ÷èòàòü, что J > 0, если заряд ¾âûòåêàåò¿ из îáëàñòè, и J < 0, если
заряд ¾втeкает¿ в область. Тогда закон сохранения заряда (в интегральной
форме) может быть выражен уравнением
dQ(t)
dt = −J.
(1.1)
Введем теперь понятие плотности заряда и плотности тока и перепи
шем (1.1) в другом виде. Пусть имеется тело с большим количеством заря
женных частиц в нем. Разобьем объем V на малые элементы (физически
бесконечно малые îáúåìû) ∆V òàêèå, что ∆V ≪V , но в ∆V все еще ñîäåð
жится много элементарных зарядов, так что отношения типа ∆Q/∆V , где
∆V . Так как∆V макроскопически мал, то его положение можно характери
зовать единственным радиус-вектором r, проведенным в какую-либо точку
области ∆V . Назовем отношение
∆Q = ∑
i∈∆V
ρ(r, t) = ∆Q
∆V
6
(1.2)
ei полный заряд внутри ∆V , мало меняются при изменении
Стр.6
объемной плотностью заряда в данной точке. Полный заряд во всем объеме
Q =∑∆Q =∑ρ∆V −→
∫
V
ρ(r, t)dV.
Таким образом, для систем, в которых электрический заряд можно рас
сматривать как распределенный непрерывно, полный заряд есть интеграл
от объемной плотности:
Q =
∫
V
ρ(r, t)dV.
(1.3)
Если в некоторой области пространства имеется только один заряд ea, то,
очевидно, объемную плотность нельзя ввести с помощью (1.2). Будем в этом
случае исходить из соотношения (1.3) и определим ρ так, чтобы выполня
лись равенства
Q =
∫
V
ρ(r, t)dV =
{ ea, ra ∈ V,
0, ra ̸∈ V.
Тогда, очевидно, ρ(r, t) можно записать через дельта-функцию:
ρ(r, t) = eaδ(r−ra(t)),
где ra(t) радиус-вектор заряда ea. Íàïîìíèì, что δ(x) определяется как
функция, обладающая следующими свойствами:
1) функция равна нулю при всех x < 0 и при всех x > 0;
2) функция бесконечна при x = 0;
3) интеграл от этой ôóíêöèè, взятый в пределах от −∞ äî∞, равен 1.
Аналогичным образом вводится трехмерная дельта-функция δ(r). Из
свойств дельта-функции следует основное соотношение
∫
f(r)δ(r−ra)dr = f(ra),
V
которое было использовано при введении объемной плотности точечного
заряда.
Если имеется несколько точечных зарядов, то плотность заряда дается
выражением
ρ(r, t) =∑
a
eaδ(r−ra(t)).
Введем теперь плотность электрического тока
j(r, t) = ρ(r, t)v(r, t),
7
(1.4)
(1.5)
если ra ∈ V,
Стр.7
где v(r, t) скорость çàðÿäîâ, и íàéäåì, как j связана с током через ïîâåðõ
íîñòü. Выделим площадку dS с нормалью n (dS = ndS вектор ïëîùàäêè)
и вычислим ток, проходящий через dS. Пусть скорость зарядов в месте рас
положения площадки v, тогда в единицу времени площадку пересекут
заряды, находящиеся внутри цилиндра с осью, параллельной v, и высотой
(vn) = vn (ðèñ. 1), ò.å.
dJ = ρvndS = (ρv,n)dS = (jdS).
Полный ток через произвольную площадку S конечных размеров
J =
∫
S
jdS.
(1.6)
Если в объеме имеется несколько зарядов или заряды рассматриваются как
точечные (÷òî можно делать âñåãäà), то из (1.4), (1.5) получаем
j(r, t) =∑
a
eavaδ(r−ra(t)).
(1.7)
Ðèñ. 1
Запишем теперь закон сохранения электрического заряда (1.1) для неко
торого объема V , окруженного замкнутой поверхностью S в другой форме.
Левую часть, учитывая (1.3), перепишем в виде
dQ
dt = d
dt
∫
V
ρ(r, t)dV =
8
∫
V
∂ρ(r, t)
∂t dV.
Стр.8