ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНИКЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики Н.П. Балабаева, Е.А. Энбом МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление Учебное пособие Самара 2015 УДК 517.5 Б 20 Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ протокол № 11, от «13» марта 2015 Балабаева, Н. <...> – 140 с. темам: Учебное пособие содержит теоретический и практический материал по «Определенный интеграл», «Несобственные интегралы», «Геометрические и физические приложения определенного интеграла». <...> Определенный интеграл как предел интегральной суммы . <...> Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах . <...> Составим произведение длины каждого частичного отрезка на значение функции в соответствующей точке и возьмем сумму этих произведений: где непрерывна на отрезке ab; . <...> Если существует конечный предел интегральной суммы n при независимо от способа разбиения отрезка ab; на частичные отрезки и от выбора точек i 0 на этих отрезках, то этот предел называют определенным интегралом функции fx по отрезку ab; , то есть lim lim ( ) 00 1 n i f i n i b x f x d x. a ( ) Здесь fx – подынтегральная функция; (1.2) f x d x – подынтегральное выражение; число a называется нижним пределом интегрирования; число b называется верхним пределом интегрирования; x - переменная интегрирования; ab; – отрезок интегрирования. <...> Функция, определенный интеграл которой существует, называется интегрируемой на отрезке ab; . <...> Из определения определенного интеграла следует, что он представляет собой действительное число. <...> Возникает вопрос, какими свойствами должна обладать функция fx , чтобы существовал определенный интеграл этой функции. интеграла) . <...> Геометрический смысл определенного интеграла Пусть функция y f x определена и непрерывна на отрезке ab; . <...>
Математический_анализ._Интегральное_исчисление_Учебное_пособие.pdf
УДК 517.5
Б 20
Рекомендовано к изданию методическим советом ПГУТИ
протокол № 11, от «13» марта 2015
Балабаева, Н. П.
Б 20
Математический анализ. Интегральное исчисление: учебное
пособие / Н.П. Балабаева, Е.А. Энбом. – Самара: ПГУТИ, 2015. – 140 с.
темам:
Учебное пособие содержит теоретический и практический материал по
«Определенный интеграл», «Несобственные
интегралы»,
«Геометрические и физические приложения определенного интеграла».
Теоретические положения иллюстрируются примерами и прикладными
задачами с подробным решением, приведены вопросы для самоконтроля и
достаточное количество задач для проведения аудиторных занятий и
организации самостоятельной подготовки учащихся.
Учебное пособие разработано в соответствии с ФГОС ВПО по
специальности 10.05.02 – Информационная безопасность телекоммуникационных
систем и по направлениям подготовки бакалавриата 10.03.01 –
Информационная безопасность, 11.03.02 - Инфокоммуникационные технологии
и системы связи, 02.03.03 – Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем.
Пособие предназначено для студентов первого курса очной и заочной
форм обучения.
© Балабаева Н. П., Энбом Е. А., 2015
2
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................ 4
Г Л А В А 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ
ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ ..................................................... 6
§1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы .......... 6
§2. Геометрический смысл определенного интеграла ........................ 8
§3. Свойства определенного интеграла .............................................. 10
§4. Интеграл как функция переменного верхнего предела .............. 16
§5. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона -
Лейбница ................................................................................................ 18
§6. Замена переменной в определенном интеграле ........................... 25
§7. Интегрирование по частям в определенном интеграле .............. 36
§8. Несобственные интегралы ............................................................. 42
Г Л А В А 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ........................... 59
§1. Применение определенного интеграла ......................................... 59
§2. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых
координатах ........................................................................................... 60
§3. Вычисление площади криволинейного сектора .......................... 75
§ 4. Объем тела вращения .................................................................... 83
§5. Длина дуги плоской кривой ........................................................... 92
§6. Вычисление площади поверхности вращения ........................... 102
§7. Вычисление статических моментов ............................................ 109
§8. Вычисление центра тяжести ........................................................ 115
ГЛОССАРИЙ .......................................................................................... 123
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ................................................................................... 127
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ................................................................................... 129
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................ 139
3
Стр.3