136 § 4 Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой плоскости . <...> В первой главе пособия рассматриваются основные понятия, относящиеся к аксиоматическому способу построения теорий, координатным системам, преобразованиям координат, геометрическим преобразованиям. <...> В третьей главе описывается точечная структура – аффинное пространство, в котором строится аффинная система координат, вводятся основные геометрические объекты, понятие тензора в аффинном пространстве. <...> В пятой главе описывается структура псевдоевклидова пространства и, в частности, псевдоевклидовой плоскости. <...> Рассматриваются движения на псевдоевклидовой плоскости, а также измерение углов и площадей в таком пространстве. <...> Описывается три-ткань, задаваемая решением обыкновенного дифференциального уравнения, ее относительные инварианты и соотношения, связывающие эти инварианты, для линейных уравнений, уравнений Риккатти, уравнений Абеля. <...> Впервые список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии, был дан в книге немецкого математика Д. <...> Возникают три законных вопроса: а) Всякий ли список аксиом Σ определяет некоторую математическую структуру? б) Если список аксиом Σ задает математическую структуру, то все ли аксиомы из списка Σ необходимы для этого? в) Можно ли список Σ пополнить новыми аксиомами, не изменяя неопределяемых отношений и понятий, так, чтобы новый список определял новую структуру? <...> Определение 1.1.3 Список аксиом Σ называется содержательно непротиворечивым, если существуют конкретные множества М1, М2, М3 с конкретными отношениями ∆1, ∆2 … ∆k, обладающими свойствами из списка Σ. <...> Возьмем 2-мерное векторное пространство, исключим из него нулевой вектор и получим множество векторов Ũ, которое векторным пространством уже не является, но в нем выполняются все свойства, которые не связаны с нулевым вектором. <...> Моделями такой структуры служат пучок прямых на евклидовой плоскости, окружность с отождествленными <...>
Геометрическое_моделирование_окружающего_мира_(1).pdf
УДК 513.013
ББК 22.151.5
У13
Научный редактор
Уткина Т.И., доктор педагогических наук, профессор,
заведующий кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики
обучения математике Орского гуманитарно-технологического
института (филиала) ОГУ
Рецензенты:
Шелехов А.М., доктор физико-математических наук, профессор кафедры
функционального анализа и геометрии
Тверского государственного университета;
Михайличенко И.Н., кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры общих и профессиональных дисциплин филиала
ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет путей
сообщения» в г. Орске
Уткин А.А.
У13
Геометрическое моделирование окружающего мира [Электронный
ресурс] : учеб. пособие / А.А. Уткин. – 2-е изд., стер. – М. :
ФЛИНТА, 2014. – 219с.
ISBN 978-5-9765-1956-5
Пособие предназначено для преподавания дисциплины «Геометрическое
моделирование окружающего мира», относящейся к
дисциплинам национально-регионального (вузовского) компонента в
учебном плане направления 050100 – Педагогическое образование
профиль «Математика».
УДК 513.013
ББК 22.151.5
ISBN 978-5-9765-1956-5
© Уткин А.А., 2013
© Издательство «ФЛИНТА», 2014
Стр.2
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................. 5
ГЛАВА 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ........................................................ 7
§ 1 Геометрические понятия .......................................................... 7
§ 2 Понятие координатной системы .............................................. 13
§ 3 Геометрические преобразования ............................................. 19
Задания для самостоятельной работы ........................................... 23
ГЛАВА 2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ .............................. 26
§ 1 Понятие топологического пространства ................................. 26
§ 2 Топология метрического пространства ................................... 28
§ 3 Окрестность точки в топологическом пространстве ............. 31
§ 4 База топологического пространства ........................................ 33
§ 5 Понятие непрерывного отображения в топологическом
пространстве ........................................................................................ 35
§ 6 Топологические отображения .................................................. 38
§ 7 Основные топологические инварианты .................................. 40
§ 8 Понятие многообразия .............................................................. 44
§ 9 Понятие графа ............................................................................ 47
§ 10 Связные графы ......................................................................... 52
§ 11 Ориентированные графы ........................................................ 53
§ 12 Формула Эйлера ...................................................................... 56
§ 13 Многогранники ........................................................................ 57
§ 14 Кресты ...................................................................................... 62
Задания для самостоятельной работы ........................................... 65
ГЛАВА 3. АФФИННАЯ СТРУКТУРА ............................................ 71
§ 1 Аффинное пространство ........................................................... 71
§ 2 Аффинная система координат .................................................. 73
§ 3 Тензоры в аффинном пространстве ......................................... 77
§ 4 Операции с тензорами ............................................................... 82
§ 5 Аффинная геометрия ................................................................ 89
Задания для самостоятельной работы ........................................... 98
ГЛАВА 4. ЕВКЛИДОВА СТРУКТУРА ........................................... 99
§ 1 Евклидово пространство ........................................................... 99
§ 2 Координатные системы в евклидовом пространстве ............. 102
§ 3 Тензоры в евклидовом пространстве ....................................... 105
§ 4 Геометрические преобразования евклидова пространства ... 107
Стр.3
§ 5 Методы построения геометрических моделей в евклидовом
пространстве ........................................................................................ 110
§ 6 Геометрические объекты в евклидовом пространстве
как модели физических явлений ....................................................... 117
Задания для самостоятельной работы ........................................... 126
ГЛАВА 5. ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ СТРУКТУРЫ .......................... 129
§ 1 Псевдоевклидово пространство ............................................... 129
§ 2 Псевдоевклидова плоскость ..................................................... 132
§ 3 Движения на псевдоевклидовой плоскости ............................ 136
§ 4 Измерение площадей и углов на псевдоевклидовой
плоскости ............................................................................................. 142
Задания для самостоятельной работы ........................................... 146
ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВА
СОБЫТИЙ ........................................................................................... 147
§ 1 Пространство событий .............................................................. 147
§ 2 Формулы Лоренца ..................................................................... 151
§ 3 Исследование формул Лоренца ............................................... 154
Задания для самостоятельной работы ........................................... 159
ГЛАВА 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ....................................... 160
§ 1 Полилинейные формы и тензоры ............................................ 162
§ 2 Дифференциальные формы ...................................................... 175
§ 3 Внешний дифференциал ........................................................... 181
§ 4 Три-ткань .................................................................................... 186
§ 5 Координатные квазигруппы на три-ткани .............................. 193
§ 6 Локальные дифференцируемые три-ткани ............................. 204
§ 7 Три-ткани, определяемые дифференциальным уравнением .... 207
Задания для самостоятельной работы ........................................... 212
Библиографический список ............................................................... 215
Стр.4