Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел 110 3 2.1. <...> Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел . <...> Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе (рис. <...> Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисунке 1.3, отношения перпендикулярности, равенства и длины. <...> 1.4 Видим, что граф отношения равенства отличается от двух других наличием петель в каждой его вершине. <...> Эти петли – результат того, что отношение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе. <...> Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлексивности или оно рефлексивно. <...> Таким, например, является отношение перпендикулярности 9 на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе. <...> Используя символы, это отношение можно записать в таком виде: Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. <...> Справедливо и обратное утверждение: граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения. <...> Кроме отношения «длиннее», на множестве отрезков свойством транзитивности обладает отношение равенства: если отрезок х равен 12 отрезку у и отрезок у равен отрезку z, то отрезок х равен отрезку г. Это свойство отражено и на графе отношения равенства (рис. <...> Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d, а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны. <...> Рассмотрим еще одно свойство отношений, которое называют свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным. <...> Используя символы, это определение можно записать в таком виде: Например, свойством связанности обладают отношения <...>
Математика._Ч.2_(1).pdf
УДК 51
ББК 22.1
В49
Научный редактор
Уткина Т.И., доктор педагогических наук, профессор, заведующий
кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
Орского гуманитарно-технологического института (филиала) ОГУ
Рецензенты:
Сафонова Г.И., кандидат педагогических наук, первый заместитель
министра образования Оренбургской области;
Левашова Г.Н., кандидат педагогических наук,
Заслуженный учитель России, директор ГАОУ СПО
«Педагогический колледж» г. Орска
Виноградова Е.П.
В49
Математика. Ч. II [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.П. Виноградова.
– 2-е изд., стер. – М. : ФЛИНТА, 2014. – 199 с.
ISBN 978-5-9765-1937-4
Учебное пособие «Математика. Часть II» является продолжением серии пособий,
предназначенных для студентов факультета педагогики и методики начального
образования. Цель данного издания – помочь студентам обобщить знания о
числовых выражениях, равенствах и неравенствах, выражениях с переменной,
уравнениях и неравенствах с одной переменной, основных методах решения
систем уравнений, а также рассмотреть различные подходы к построению множества
целых неотрицательных чисел.
УДК 51
ББК 22.1
ISBN 978-5-9765-1937-4
© Виноградова Е.П., 2013
© Издательство «ФЛИНТА», 2014
Стр.2
Содержание
Введение ................................................................................................. 5
1. Элементы алгебры ........................................................................... 6
1.1. Лекционный материал ................................................................ 6
1.1.1. Отношения ………………...................................................... 6
1.1.2. Соответствия ………………………………………............... 18
1.1.3. Числовые функции ……………………………..................... 26
1.1.4. Прямая и обратная пропорциональность ………................. 31
1.1.5. Алгебраические операции на множестве ………................. 35
1.1.6. Выражения и их тождественные преобразования ............... 43
1.1.7. Числовые равенства и неравенства ………………............... 48
1.1.8. Выражения с переменной. Тождества …………….............. 56
1.1.9. Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений 61
1.1.10. Неравенства с одной переменной. Равносильность
неравенств .............................................................................................. 73
1.1.11. Решение неравенств с одной переменной .......................... 77
1.2. Самостоятельные работы ............................................................. 85
1.2.1. Соответствия ........................................................................... 85
1.2.2. Отношения .............................................................................. 86
1.2.3. Функция ................................................................................... 87
1.2.4. Числовые выражения, равенства и неравенства .................. 88
1.2.5. Выражения с переменной ...................................................... 91
1.2.6. Уравнения ................................................................................ 92
1.2.7. Неравенства ............................................................................ 93
1.3. Проверочные работы .................................................................... 94
1.3.1. Числовые выражения ............................................................ 94
1.3.2. Числовые равенства (I часть)................................................. 95
1.3.3. Числовые равенства (II часть)................................................ 97
1.3.4. Выражения с переменной ...................................................... 97
1.3.5. Тождественные преобразования выражений ....................... 99
1.3.6. Преобразования выражений .................................................. 100
1.3.7. Преобразование рациональных выражений ......................... 101
1.3.8. Уравнения. Равносильность уравнений ………………….. 102
1.3.9. Решение уравнений ………………………………………… 103
1.3.10. Решение дробно-рациональных уравнений ……………... 104
1.3.11. Решение неравенств ………………………………………. 106
1.4. Проверь себя …………………………………………………….. 107
2. Аксиоматическое построение множества целых
неотрицательных чисел
110
3
Стр.3
2.1. Лекционный материал .................................................................. 110
2.1.1. Понятие об аксиоматическом методе построения теории ..... 110
2.1.2. Сложение целых неотрицательных чисел …………............ 117
2.1.3. Умножение целых неотрицательных чисел …………......... 123
2.1.4. Свойства множества целых неотрицательных чисел .......... 129
2.1.5. Вычитание и деление целых неотрицательных чисел ........ 135
2.2. Самостоятельные работы ............................................................. 142
2.2.1. Аксиологическое построение системы натуральных чисел 142
2.2.2. Сложение ................................................................................. 147
2.2.3. Вычитание ............................................................................... 150
2.2.4. Умножение .............................................................................. 153
2.2.5. Деление .................................................................................... 156
3. Теоретико-множественный подход
к построению множества целых неотрицательных чисел ........... 158
3.1. Лекционный материал ………...................................................... 158
3.1.1. Построение системы натуральных чисел на основе
теории множеств .................................................................................... 158
3.1.2. Сумма целых неотрицательных чисел .................................. 166
3.1.3. Разность целых неотрицательных чисел .............................. 169
3.1.4. Произведение целых неотрицательных чисел ..................... 173
3.1.5. Частное целых неотрицательных чисел ............................... 178
3.2. Самостоятельные работы ............................................................. 181
3.2.1. Теоретико-множественный смысл суммы ........................... 181
3.2.2. Теоретико-множественный смысл разности ........................ 182
3.2.3. Теоретико-множественный смысл произведения ............... 183
3.2.4. Теоретико-множественный смысл частного натуральных
чисел .............................................................................................................. 185
4. Натуральное число как мера величины ..................................... 187
4.1. Лекционный материал .................................................................. 187
4.1.1. Понятие натурального числа как меры длины .................... 187
4.1.2. Арифметические операции над натуральными числами
как мерами длин отрезков ..................................................................... 189
Ответы к самостоятельным работам по теме
«Аксиоматический подход» .................................................................. 194
Ответы к самостоятельным работам по теме
«Теоретико-множественный подход» .................................................. 197
Библиографический список ............................................................... 198
4
Стр.4