Значительное внимание уделено прикладным аспектам математического аппарата интегрального и дифференциального исчисления, рядов, функции нескольких перемеКнных с применением систем компьютерной математики. <...> Рецензенты: Академик РАО, доктор физико-математических наук, профессор, И.И. Баврин профессор кафедры теории информатики и дискретной математики Московского педагогического государственного университета Доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики Московского городского педагогического университета, заслуженный деятель науки РФ, лауреат премии Президента РФ в области образования А. Г. Мордкович ISBN 978-5-99058886-5-3 © Р. М. Асланов, О. В. Ли, Т. Р. Мурадов, 2014 © Издательство «Прометей», 2014 «Только знанье – друг надежный, охранитель наш, Разрешитель всех сплетений, неусыпный страж…» Низами Гянджави Введение математического анализа педагогических вузов Настоящее учебное пособие посвящено основам и адресовано студентам по направлению бакалавр педобразования (профиль: «математика», «математика и информатика», «информатика», «информатика и экономика») и технических вузов. <...> Последовательно и курса подробно излагается материал, охватывающий следующие дидактические модули: введение в анализ, дифференциальное исчисление, интегральные исчисления, ряды, функции нескольких переменных, применение систем компьютерной математики в математическом анализе. <...> В первом дидактическом модуле — «Введение в анализ» — рассматриваются такие вопросы, как основные определения и понятия, предел числовой последовательности, предел функции, непрерывность функции, основные элементарные функции и их свойства. <...> В третьем дидактическом модуле — «Интегральное исчисление» — рассматриваются такие вопросы, как первообразная и неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения, а также <...>
Математический_анализ._Краткий_курс._Учебное_пособие_для_студентов_высших_учебных_заведений.pdf
ББК 22.11Я73
А 90
А 90
Асланов Р. М., Ли О. В., Мурадов Т. Р. Математический анализ.
Краткий курс. Учебное пособие для студентов высших учебных
заведений. — М.: Прометей, 2014. — 284 с.
Учебное пособие посвящено основам математического анализа.
Значительное внимание уделено прикладным аспектам математического
аппарата интегрального и дифференциального исчисления, рядов,
функции нескольких перемеКнных с применением систем компьютерной
математики.
Теоретический материал иллюстрирован большим количеством
задач и примеров.
Данное пособие полностью соответствует действующим
программам, может быть рекомендовано студентам математических,
физико-математических факультетов университетов и академий,
преподавателям, читающим лекции по курсу высшей математики,
математического анализа, а также всем, кто интересуется математикой
и ее приложениями.
Рецензенты:
Академик РАО, доктор физико-математических наук, профессор,
И.И. Баврин
профессор кафедры теории информатики и дискретной математики
Московского педагогического государственного университета
Доктор педагогических наук, кандидат физико-математических
наук, профессор, профессор кафедры математического анализа и
методики преподавания математики Московского городского
педагогического университета, заслуженный деятель науки РФ, лауреат
премии Президента РФ в области образования А. Г. Мордкович
ISBN 978-5-99058886-5-3
© Р. М. Асланов, О. В. Ли, Т. Р. Мурадов, 2014
© Издательство «Прометей», 2014
Стр.2
Оглавление
Введение………………………………………………………………………
Модуль 1. Введение в анализ………………………………………..
§1. Основные определения и понятия………………….….….....
Числовые множества и их свойства…………………………..……….
Расширенное множество действительных чисел……………………
Модуль действительно числа и его свойства…………………………
Верхняя и нижняя грань числовых множеств………………………
Функция: определение и основные понятия…………………………
§2. Предел числовой последовательности……………………….
Основные определения и теоремы……………………………………..
Монотонные последовательности………………………………………
Число (число Эйлера)…………………………………………………….
Подпоследовательности…………………………………………………..
§3. Предел функции………………………………………………………
Основные определения……………………………………………………
Основные теоремы о пределах функций…………………………….
Односторонние пределы функции……………………………………..
Бесконечно малые функции и их свойства………………………….
§4. Непрерывные функции…………………………………………….
Основные определения и свойства…………………………………….
Точки разрыва и их классификация…………………………………..
Свойства функций, непрерывных на отрезке………………………
§5. Основные элементарные функции и их свойства………
Степенная функция………………………………………………………..
Показательная функция…………………………………………………..
279
e
3
6
6
6
9
11
11
13
18
18
24
26
28
30
30
32
35
37
40
40
42
44
46
46
47
Стр.279
Логарифмическая функция………………………………………………
Общая степенная и показательно-степенная функции…………..
Тригонометрические функции………………………………………….
Пределы, связанные с числом e…………………………………………
Модуль 2. Дифференциальное исчисление……………………..
§1. Задачи, приводящие к понятию производной……………
Задача о нахождении скорости движения материальной
точки……………………………………………………………………………
Задача о нахождении касательной к кривой……………………….
§2. Производная и дифференциал…………………………………..
Основные определения и понятия………………………………………
Геометрический смысл производной………………………………….
Основные правила вычисления производной……………………….
Производные и дифференциалы высших порядков………………
Основные теоремы дифференциального исчисления…………….
Правило Лопиталя…………………………………………………………..
Формула Тейлора…………………………………………………………….
§3. Применение производных к исследованию функций и
построению графиков……………………………………………………
Исследование функций на возрастание и убывание……………..
Экстремумы функции……………………………………………………..
Выпуклость функции………………………………………………………
Точки перегиба……………………………………………………………...
Асимптоты…………………………………………………………………….
Модуль3. Интегральное исчисление………………………………
§1. Первообразная и неопределенный интеграл……………...
Основные определения……………………………………………………
Свойства неопределенного интеграла………………………………...
280
48
50
51
53
54
54
54
55
56
57
60
61
64
66
70
73
78
78
80
83
86
89
91
91
91
94
Стр.280
Интегрирование рациональных функций……………………………
Интегрирование простейших иррациональностей………………..
Интегрирование тригонометрических функций………………..…
§2. Определенный интеграл…………………………………………..
Основные определения……………………………………………………
Свойства определенного интеграла…………………………………...
Интеграл с переменным верхним пределом…………………………
§3. Приложения определенного интеграла………………………
Длина дуги плоской кривой…………………………………………..…
Площадь криволинейной трапеции……………………………………
Объем тела вращения………………………………………………………
§4. Несобственные интегралы……………………………………….
Несобственные интегралы 1-го рода………………………………….
Несобственные интегралы 2-го рода……………………………….…
Модуль 4. Ряды……………………………………………………………
§1. Числовые ряды………………………………………………………..
Основные определения и понятия………………………………………
Свойства сходящихся рядов……………………………………….……
Ряды с неотрицательными членами……………………………..….…
Признаки сходимости Даламбера и Коши…………………….…….
Знакочередующиеся ряды………………………………………….……
Абсолютно сходящиеся ряды……………………………………..…….
§2. Функциональные ряды…………………………………………….
Основные определения и понятия………………………………………
Степенные ряды………………………………………………………..……
Разложение функции в степенной ряд…………………………..……
Модуль 5. Функции нескольких переменных………………….
§1. Область определения и график функции нескольких
281
96
100
101
104
104
105
110
114
114
115
116
118
118
121
123
123
123
126
129
132
135
138
139
139
142
149
154
Стр.281
переменных……………………………………………………………….….
§2. Предел функции……………………………………………………....
§3. Частные производные. Дифференциал функции………..
§4. Частные производные сложной функции…………………..
§5. Частные производные и дифференциалы высших
порядков……………………………………………………………………....
§6. Производная по направлению. Градиент…………………...
§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности…….…
§8. Экстремумы функции нескольких переменных……….…
§9. Наибольшее и наименьшее значения функции…………...
§10. Двойные интегралы и их приложения………………….…..
Вычисление двойных интегралов……………………………….……….
Замена переменных в двойном интеграле……………………….…...
Геометрические приложения двойных интегралов………………..
§11. Криволинейные интегралы………………………………….….
Вычисление криволинейного интеграла………………………….……
Формула Грина. Условия независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования………………………………….….
Модуль 6. Применение систем компьютерной математики
в математическом анализе ………………………………………...…
Лабораторная работа №1……………………………………………..…
Вычисление определенного интеграла……………………….…………
Лабораторная работа №2…………………………………………….…..
Вычисление определенного интеграла заменой
переменной...................................................................................
Лабораторная работа №3………………………………………….……..
Вычисление определенного интеграла интегрированием по
частям…………………………………………………………………………...
282
154
157
159
161
163
166
167
169
170
172
175
178
180
184
185
187
190
190
190
195
195
198
198
Стр.282
Лабораторная работа №4………………………………………….……..
Интегрирование рациональных функций……………………….…….
Лабораторная работа №5………………………………………….……..
Интегрирование иррациональных функций……………….…………
Лабораторная работа №6…………………………………………………
Вычисление длины дуги плоской кривой………………….…………..
Лабораторная работа №7……………………………………….………..
Вычисление площадей плоских фигур…………………….……………
Лабораторная работа №8…………………………………………….…..
Вычисление площади поверхности тела……………………………….
Лабораторная работа №9………………………………………….……..
Вычисление объема тела ………………………………………………….
Итоговые контрольные работы…………………………………......
Контрольная работа № 1…………………………………………………...
Контрольная работа № 2…………………………………………………...
Контрольная работа № 3…………………………………………………...
Контрольная работа № 4…………………………………………………...
Контрольная работа № 5…………………………………………………...
Литература……………………………………………………………….……
202
202
211
211
217
217
227
227
239
239
252
252
270
270
271
272
273
274
277
Стр.283