МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” (ФГБОУ ВПО «ВГУ») Монотонные нелинейные операторы Учебно-методическое пособие для вузов Составители: Ю.Б. Савченко Воронеж 2014 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 06.06. <...> Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета Рекомендуется для студентов 5 курса и магистров 1 курса очной формы обучения математического факультета, обучающихся по специальностям: 010101 Математика 010100 Математика 3 значениями в Л е м м а 1. <...> Если условие (1.1) выполнено в усиленном смысле : при То уравнение (1.3) имеет при единственное решение. <...> Пусть . т.е. не убывает на на непрерывной функции, существует Если выполнено условие (1.4), то тогда нуль функции на Например, функция (1.5) не являясь непрерывной на , удовлетворяет остальным условиям леммы 1, но для этой функции уравнение (1.3) не имеет решения. <...> Обобщая ситуацию, рассмотренную в лемме, дадим теперь следующие общие определения. <...> Пусть – вещественное сепарабельное нормированное пространство, а – пространство, сопряжённое к . <...> Рассмотрим нелинейный оператор , ; тогда из (1.1) следует, что . <...> Заметим, что требования непрерывности в лемме 1 существенно. и (1.4) 1. <...> Монотонные операторы непрерывна на , со (1.1) (1.2) 4 действующий из и . <...> Как обычно, через обозначаем значение линейного функционала на элементе Обобщением условия (1.1) является следующее определение. <...> Оператор если для любых (1.6) Аналогично обобщается условие (1.4). <...> Оператор называется строго монотонным, если он монотонный и равенство (1.6) возможно только при Наконец, в приложениях оказывается полезным следующее определение. <...> Оператор монотонным, если для всех (1.7) где такая, что – непрерывная неотрицательная функция <...>
Монотонные_нелинейные_операторы.pdf
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
“ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”
(ФГБОУ ВПО «ВГУ»)
Монотонные нелинейные операторы
Учебно-методическое пособие для вузов
Составители:
Ю.Б. Савченко
Воронеж
2014
Стр.1
3
значениями в
Л е м м а 1. Пусть функция
. Если
при
то уравнение
(1.3)
имеет решение. Если условие (1.1) выполнено в усиленном смысле :
при
То уравнение (1.3) имеет при
единственное решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
. т.е.
не убывает на
на
непрерывной функции, существует
Если выполнено условие (1.4), то
тогда нуль функции на
Например, функция
(1.5)
не являясь непрерывной на , удовлетворяет остальным условиям леммы 1,
но для этой функции уравнение (1.3) не имеет решения.
Обобщая ситуацию, рассмотренную в лемме, дадим теперь следующие
общие определения.
Пусть – вещественное сепарабельное нормированное пространство, а
– пространство, сопряжённое к . Рассмотрим нелинейный оператор ,
; тогда из (1.1) следует, что
. Далее, из условий (1.2) и (1.1)
вытекает, что существуют числа и такие, что
Рассмотрим
. По теореме о промежуточных значениях
, в которой
.
строго возрастает на
единственен. Лемма 1 доказана.
Заметим, что требования непрерывности в лемме 1 существенно.
и
(1.4)
1. Монотонные операторы
непрерывна на
, со
(1.1)
(1.2)
Стр.3
6
оператором в
Итак, доказано, что оператор
, с
, если
является сильно монотонным
. Если
то
монотонный оператор.
У п р а ж н е н и е 3. Докажите, что функция
где
является сильно монотонным оператором в .
Следующее определение обобщает условие (1.2) леммы 1.
О п р е д е л е н и е 1.4. Оператор
коэрцитивным, если для всех
где
– функция, заданная при
и такая, что
В дальнейшем мы будем использовать функции
и
(1.8)
при
из
определений 1.3 и 1.4, не оговаривая их существование для сильно
монотонного и коэрцитивного операторов соответственно. Впрочем, между
этими функциями имеется связь, которая устанавливается в следующей
лемме.
Л е м м а 2. Если оператор
коэрцитивный, причём можно принять
сильно монотонный, то
называется
–
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия (1.7) при
ибо
и,
значит,
полученное неравенство доказывает утверждение леммы 2.
З а м е ч а н и е. Если оператор коэрцитивен, то
.
имеем
.
при
Стр.6
7
Действительно, имеем оценку
т.е.
, когда
В заключение пункта приведём элементарную лемму о функции
,
фигурирующей в определении сильной монотонности.
Л е м м а 3. Пусть дана непрерывная неотрицательная
функция
при
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
сходится к нулю. Тогда найдутся число
такие,
последовательности
ограничена. В противном
подпоследовательность
невозможно, ибо
Больцано
–
. Итак
Вейерштрасса
подпоследовательность
что
случае
при
нашлась
, а тогда и
её
.
По
а
и последовательность
для
бы
.не
всех
её
, что
, ограничена. Тогда по теореме
найдётся
сходящаяся
непрерывности
, а это тоже невозможно. Полученное
противоречие доказывает тлемму.
2. Теоремы о существовании решений в конечномерном случае.
Докажем две теоремы о существовании решений уравнений с монотонными
операторами в евклидовом пространстве
. Эти теоремы послужат базой
для рассмотрения в последующих пунктах бесконечномерного случая.
Следующая теорема является непосредственным обобщением леммы 1
предыдущего пункта на случай сильно монотонного оператора
.
Т е о р е м а 2.1. Пусть
всех
(2.1)
и непрерывен всюду в
. Если для
такая, что
.
при
при
Тогда
из
того,
, вытекает, что
и
что
при
Стр.7
8
где
- некоторая постоянная, то уравнение
(2.2)
имеет единственное решение
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведём доказательство теоремы индукцией
по размерности
пространства
. При
доказываемое утверждение
верно. Действительно, условие (2.1) обеспечивает выполнение условий (2.3)
и (2.2) леммы 1п. 1 (условие (1.1) этой леммы следует из леммы 2 п. 1 ). Итак,
при
стандартный
теорема 2.1 справедлива. Допустим теперь, что она справедлива в
, и покажем, что тогда она будет верна и в
удовлетворяет условиям теоремы 2.1 (при
базис
. Пусть
). Рассмотрим в
(
набором своих координатных функции :
где
.
Зафиксируем любое
определяемы для всех
Очевидно, оператор
и рассмотрим оператор
следующей формулой :
непрерывен на
и для любых
согласно условию (2.1), для него выполняется следующее неравенство :
,
т.е.
- символ Кронекера). Тогда в базисе оператор задаётся
Это означает, что оператор
также удовлетворяет условию (2.1). По
индуктивному предположению система уравнений
(2.3)
Стр.8