Определение гауссова отображения и его основные свойства . <...> 228 Приложение: cамосопряжённые линейные отображения и квадратичные формы . <...> Разделы от 1.2 до 1.4 содержат, по существу, вводный материал (параметризованные кривые, длина дуги, векторное произведение), который, возможно, известен из других курсов и включён сюда для полноты. <...> Параметризованные кривые (x y z вещественных чисел. <...> Мы говорим, что вещественная функция вещественной переменной является дифференцируемой (или гладкой), если она имеет во всех точках производные всех порядков (которые автоматически непрерывны). <...> (0, 0), то есть отображение α не является взаимно Рисунок 1.3 Рисунок 1.4 π α α αα 14 ГЛАВА 1 ется параметризованной дифференцируемой кривой, так как функция | не дифференцируема в точке t = 0 (рис. <...> Пусть α( )t — параметризованная кривая, которая не проходит через начало координат. <...> Параметризованная кривая α( )t обладает тем свойством, что её вторая производная α ( )t′′ тождественно равна нулю. <...> Регулярные кривые, длина дуги При любом tI ,∈ где которая содержит точку α( )t и вектор α ( )t′ t Пусть →Iα : R3 — параметризованная дифференцируемая кривая. ′ ≠ существует вполне определённая прямая, . <...> Параметризованная дифференцируемая кривая α: I→ →R3 называется регулярной, если α′ (t)≠ 0 при любом tI ∈ . при любом α α КРИВЫЕ 17 С этого момента мы будем рассматривать только регулярные параметризованные кривые (и для удобства будем обычно опускать слово дифференцируемая). <...> Покажите, что a) α — дифференцируемая параметризованная кривая, регулярная всюду, кроме точки t = ; 2 b) длина отрезка касательной трактрисы между точкой касания и осью y постоянна и равна 1. <...> Пусть : = ( , → ) ги .s Так как касательный вектор α ( )s′ Этот раздел содержит главные результаты теории кривых, которые α I a b R3 — кривая, параметризованная длиной дурой производной является мерой скорости изменения угла, который соседние касательные образуют с касательной в точке .s имеет длину 1, норма | α s′′ ( ) | вто <...>
Дифференциальная_геометрия_кривых_и_поверхностей.pdf
УДК 514.752.2
ББК 22.151.6
К 243
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• ф и з и к а
• м а т е м а т и к а
• б и о л о г и я
• н е ф т е г а з о в ы е
т е х н о л о г и и
Манфредо П. до Кармо
Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — М.–Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2013. — 608 с.
В книге излагается дифференциальная геометрия кривых и поверхностей
начиная с базовых понятий вплоть до тонких теорем о глобальном строении.
Особенностью книги является ознакомление читателя с основными концепциями
современной римановой геометрии на примере дифференциальной геометрии
поверхностей. Изложение построено на многочисленных конкретных
примерах, иллюстрирующих геометрические идеи.
Будет полезна как для студентов и аспирантов физико-математических специальностей,
так и для научных работников, желающих познакомиться с основными
идеями дифференциальной геометрии.
ISBN 978-5-4344-0150-0
Перевод оригинального англоязычного издания Differential Geometry of Curves and Surfaces,
1st ed. by Manfredo do Carmo; ISBN 0132125897, опубликованного издательством Prentice Hall
(Pearson Education, Inc.) © 1976 by Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458.
Все права защищены. Ни одна часть этой книги не может быть воспроизведена или быть передана
в какой бы то ни было форме или какими бы то ни было средствами, электронными или
механическими, включая фотокопирование, запись на магнитный носитель или при помощи
любой другой обрабатывающей системы хранения информации, если на то нет разрешения издательства
Pearson Education, Inc.
Русскоязычное издание опубликовано АНО «Ижевский институт компьютерных исследований»
© 2013
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................................................................................... 7
Некоторые замечания об использовании этой книги ................................ 9
ГЛАВА 1. КРИВЫЕ ........................................................................................ 11
1.1. Введение .............................................................................................. 11
1.2. Параметризованные кривые .............................................................. 12
1.3. Регулярные кривые, длина дуги ....................................................... 16
1.4. Векторное произведение в 3R .......................................................... 23
1.5. Локальная теория кривых, параметризованных длиной дуги ....... 29
1.6. Локальный канонический вид .......................................................... 42
1.7. Глобальные свойства плоских кривых ............................................ 45
ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ............................................ 69
2.1. Введение .............................................................................................. 69
2.2. Регулярные поверхности. Прообразы регулярных значений ........ 70
2.3. Замена параметров. Дифференцируемые функции
на поверхностях ................................................................................. 90
2.4. Касательная плоскость. Дифференциал отображения ................. 105
2.5. Первая основная форма. Площадь ................................................. 117
2.6. Ориентация поверхностей ............................................................... 129
2.7. Характеризация компактных ориентированных поверхностей ........ 137
2.8. Геометрическое определение площади ......................................... 143
Приложение: краткий обзор понятий непрерывности
и дифференцируемости .......................................................................... 147
ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ .................... 165
3.1. Введение ............................................................................................ 165
3.2. Определение гауссова отображения и его основные свойства ... 166
3.3. Гауссово отображение в локальных координатах ........................ 187
3.4. Векторные поля ................................................................................ 213
Стр.5
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.5. Линейчатые поверхности и минимальные поверхности ............. 228
Приложение: cамосопряжённые линейные отображения
и квадратичные формы ........................................................................... 259
ГЛАВА 4. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ............. 263
4.1. Введение ............................................................................................ 263
4.2. Изометрии. Конформные отображения ......................................... 264
4.3. Теорема Гаусса и условия совместности ....................................... 280
4.4. Параллельный перенос. Геодезические ......................................... 286
4.5. Теорема Гаусса–Бонне и её приложения ....................................... 317
4.6. Экспоненциальное отображение. Геодезические полярные
координаты ....................................................................................... 338
4.7. Дополнительные свойства геодезических.
Выпуклые окрестности .................................................................... 356
Приложение: доказательства основных теорем локальной
теории кривых и поверхностей .............................................................. 371
ГЛАВА 5. ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ .... 377
5.1. Введение ............................................................................................ 377
5.2. Неизгибаемость сферы .................................................................... 379
5.3. Полные поверхности. Теорема Хопфа–Ринова............................. 388
5.4. Первая и вторая вариации длины дуги. Теорема Бонне .............. 405
5.5. Поля Якоби и сопряжённые точки ................................................. 425
5.6. Накрывающие пространства. Теорема Адамара ........................... 442
5.7. Глобальные теоремы о кривых. Теорема Фари–Милнора ........... 465
5.8. Поверхности нулевой гауссовой кривизны ................................... 486
5.9. Теоремы Якоби ................................................................................. 495
5.10. Абстрактные поверхности. Дальнейшие обобщения ................. 506
5.11. Теорема Гильберта ......................................................................... 531
Приложение: топология точечных множеств евклидовых
пространств .............................................................................................. 545
Библиография и комментарии ................................................................... 563
Указания и ответы ........................................................................................ 567
Предметный указатель ................................................................................. 595
Стр.6