Сопряженное уравнение Лагранжа и линейные уравнения нечетного порядка, эквивалентные своим сопряженным . <...> Поверхности с изотермическими линиями кривизны 257 ГЛАВА XII. <...> Ортогональные траектории семейства поверхностей 275 viii ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА XIII. <...> Поиск уравнений Лапласа, допускающих частные решения, связанные друг с другом квадратичным соотношением с постоянными коэффициентами . <...> В частности, там приводится доказательство прекрасных формул, полученных в книге Кодацци. <...> — Ее отношения касания с кривыми и поверхностями конгруэнции. <...> — Можно доказать, что эта огибающая обязательно лежит на однойиз полостейфокальнойповерхности, а для полного решения задачи необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка. <...> — Как связаны друг с другом порядок касания кривых конгруэнции с фокальнойповерхностью и степень кратности фокальных точек. <...> — Фокальная поверхность может быть действительной или мнимой1; прямые конгруэнции представляют собойдвойные касательные к этой поверхности; но обратное не обязательно верно. <...> В общем случае прямые конгруэнции можно разделить на две последовательности развертывающихся поверхностей, действительные или мнимые, причем для их полного определения необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение первого порядка и второйстепени. <...> — На каждой полости фокальнойповерхности кривые, соответствующие двум последовательностям развертывающихся поверхностей, образуют сопряженную систему. <...> Вслед за Плюккером, мы будем обозначать словом конгруэнция множество кривых, соответствующих всем наборам значений a и b. <...> Действительно, если в вышеуказанных уравнениях заменить x, y, z на координаты x0, y0, z0 этойточки, то мы получим два соотношения, которые в общем случае определяют конечное число наборов значений a и b.Однако может случиться так, что в некоторых исключительных точках эти уравнения допускают неограниченное число решений. <...> Но если точка M совпадает ОБЩИЕ <...>
Лекции_по_общей_теории_поверхностей_и_геометрические_приложения_анализа_бесконечно_малых._Том_2_Конгруенции_и_линейные_уравнения_в_частных_производных._Линии_на_поверхностях.pdf
УДК 514.75/.77
ББК 22.151.61
Д20
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефтег азовые
технологии
Дарбу Ж.Г.
Лекции по общейтеории поверхностей и геометрические приложения анализа
бесконечно малых: в 4-х томах. Т. II: Конгруэнции и линейные уравнения
в частных производных. Линии на поверхностях. — М.–Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2013. — 580 с.
Данное издание представляет собойвторой том монументального труда выдающегося
французского математика Ж.Г. Дарбу «Лекции по общейтеории поверхностей»,
который содержит систематическое изложение результатов, относящихся
к теории поверхностейи теории криволинейных координат. Кроме собственных результатов,
он изложил и результаты исследованийпо дифференциальной геометрии
кривых и поверхностейза 100 лет. Этот труд является итогом лекций, которые автор
читал в Сорбонне в течение 1882–1885 годов и целью которых был поиск новых
приложенийтеории уравненийв частных производных, такой обширной и так мало
изученной.
Второйтом состоит из двух частей (книг). В первой части речь идет о конгруэнциях
и о линейных уравнениях в частных производных. Практически вся эта
часть посвящена развитию идейматематического анализа, которые позднее почти
сразу нашли применение при изучении двух важных вопросов: бесконечно малой
деформации произвольнойповерхности и поиска поверхностей, допускающих данное
сферическое представление. Во второйчасти речь идет о линиях пересечения
с поверхностями.
ISBN 978-5-4344-0119-7
Перевод на русскийязык:
Ижевскийинститут компьютерных исследований, 2013
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.151.61
Стр.6
Оглавление
Предисловие к первому изданию ...... ...... ...... .
КНИГА IV. КОНГРУЭНЦИИ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ix
1
ГЛАВА I. Общие замечания относительно конгруэнций ..... . 3
ГЛАВА II. Метод Лапласа ... ...... ...... ...... . 23
ГЛАВА III. Уравнение Эйлера и Пуассона ...... ...... . 55
ГЛАВА IV. Метод Римана .... ...... ...... ...... . 71
ГЛАВА V. Сопряженное уравнение Лагранжа и линейные уравнения
нечетного порядка, эквивалентные своим сопряженным .113
ГЛАВА VI. Дополнительные сведения и новые решения задач, рассмотренных
в главе II .... ...... ...... ...... . 137
ГЛАВА VII. Уравнения с одинаковыми инвариантами ..... . 153
ГЛАВА VIII. Решение одних линейных уравнений с помощью других
... ...... ...... ...... ...... ...... . 181
ГЛАВА IX. Гармонические уравнения. Аналитические приложения
утверждений, рассмотренных в двух предыдущих главах . . . 209
ГЛАВА X. Геометрические приложения .. ...... ...... . 237
ГЛАВА XI. Поверхности с изотермическими линиями кривизны 257
ГЛАВА XII. Ортогональные траектории семейства поверхностей 275
Стр.7
viii
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА XIII. Прямые, нормальные к некоторой поверхности . . 291
ГЛАВА XIV. Поверхность Лиувилля и поверхности, главные плоскости
которых сопряжены относительно поверхности второго
порядка .... ...... ...... ...... ...... . 307
ГЛАВА XV. Конгруэнции окружностей и циклические системы . 329
КНИГА V. ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
359
ГЛАВА I. Общие формулы ... ...... ...... ...... . 361
ГЛАВА II. Формулы Кодацци . ...... ...... ...... . 375
ГЛАВА III. Нормальная кривизна и геодезическое кручение . . . 403
ГЛАВА IV. Геодезические линии ...... ...... ...... . 419
ГЛАВА V. Семейства параллельных кривых ..... ...... . 439
ГЛАВА VI. Взаимосвязь между динамикой движений на плоскости
и теорией геодезических ... ...... ...... ...... . 453
ГЛАВА VII. Применение полученных ранее методов к изучению
движений в пространстве .. ...... ...... ...... . 479
ГЛАВА VIII. Общая задача динамики ... ...... ...... . 497
СТАТЬЯ I. О различных свойствах ортогональных траекторий конгруэнции
кривых . ...... ...... ...... ...... . 529
СТАТЬЯ II. О движении тяжелых тел и о принципе наименьшего
действия ..... ...... ...... ...... ...... . 545
СТАТЬЯ III. Поиск уравнений Лапласа, допускающих частные решения,
связанные друг с другом квадратичным соотношением
с постоянными коэффициентами .... ...... ...... . 557
Стр.8