Структура кинетической энергии и циклического интеграла . <...> Примеры на составление уравнений возмущенного движения (динамические уравнения Эйлера, конический маятник, круговые орбиты) . <...> Устойчивость точек либрации ограниченной круговой задачи трехтел . <...> Критический случай одной и несколькихпар чисто мнимых корней корней . <...> Постановка задачи о равновесии и его устойчивости по Ляпунову Среди всевозможныхдвижений, которые способна совершать механическая система, могут быть такие, которые характеризуются постоянством всех обобщенныхкоординат, задающихположение системы, если в некоторый момент времени, принимаемый за начальный, ихпроизводные (т. е. обобщенные скорости) были равны нулю. <...> Если бы мы всегда умели решать эту задачу, т. е. могли бы получать общее решение соответствующих дифференциальныхуравнений в виде qi = qi(t, q10,. ,qn0, ˙q10,. , ˙qn0),i =1, 2,. ,n, (1.1) то не возникало бы необходимости ставить задачу о равновесии отдельно, поскольку она получалась бы простым исследованием функций (1.1), которые, как правило, оказываются неизвестными. <...> Если силовое поле системы потенциально, т. е. существует силовая функция U(q1,. ,qn) (или потенциальная функция П = −U, называемая потенциальной энергией системы), то вследствие того, что Qi = ∂U ∂qi = −∂П ∂qi условия равновесия записываются в виде ∂U ∂qi ≡ Qi(q1,. ,qn)=0,i =1, 2,. ,n. <...> Конечно, не всегда положение равновесия системы (даже с одной степенью свободы) можно указать сразу, как в приведенном тривиальном примере. <...> Таким образом, желая поместить систему в положение равновесия, мы на самом деле будем это делать всегда с некоторой погрешностью, в результате чего как координаты, так и скорости будут отличаться (пусть весьма мало) от своихравновесных значений. <...> Заметим опять, что в постановке и этой (следующей за равновесием задачи) не было бы никакой необходимости, если бы мы умели интегрировать систему дифференциальныхуравнений, описывающих всякое движение (а следовательно, и вблизи положения <...>
Основы_теории_устойчивости.pdf
УДК 539.3:534.1(075)
ББК 22.236.37я73
К915
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефтег азовые
технологии
Куницын А.Л.
Основы теории устойчивости. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2013. — 164 с.
Книга является учебным пособием по важному разделу аналитической механики
— теории устойчивости — написанным автором на основе лекций, читавшихся
им в разные годы в качестве спецкурса в различных техническихВУЗах(МИФИ,
МАИ, МГУПИ) для будущихспециалистов по прикладной математике и механике.
В ней излагаются (в форме, доступной для студентов 3, 4-го курсов технических
ВУЗов и механико-математических факультетов университетов) основные задачи
теории устойчивости и методы ихрешения. Особое внимание уделено прямому
(второму) методу Ляпунова. Теоретический материал сопровождается примерами
из аналитической и небесной механики и космодинамики. Книга может быть также
полезной дипломникам и аспирантам вышеуказанныхспециальностей.
ISBN 978-5-93972-964-2
А. Л. Куницын, 2013
c
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2013
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.236.37я73
Стр.2
Оглавление
Введение . ...... ...... ...... ...... ...... . 5
ГЛАВА 1. Устойчивостьравновесия .... ...... ...... . 6
§ 1.1. Постановка задачи о равновесии и его устойчивости по Ляпунову
.
. .
. .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 6
§ 1.2. Консервативные системы. Теорема Лагранжа–Дирихле.Идея
прямого метода Ляпунова . .. .. .. .. .. .. .. ... .. 13
§ 1.3. Коэффициенты устойчивости Пуанкаре . . . . . . . . . . . . 18
ГЛАВА 2. Устойчивостьстационарных движений .. ...... . 26
§ 2.1. Стационарные движения систем с циклическими координатами.
Структура кинетической энергии и циклического интеграла
. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 26
§ 2.2. Метод связки интегралов Четаева . .. .. .. .. .. ... .. 44
ГЛАВА 3. Общая задача об устойчивости движения . ...... . 49
§ 3.1. Уравнения возмущенного движения и ихинтегралы. Структура
уравнений возмущенного движения. Уравнения в вариацияхПуанкаре
.. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 49
§ 3.2. Примеры на составление уравнений возмущенного движения
(динамические уравнения Эйлера, конический маятник,
круговые орбиты) .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 63
§ 3.3. Прямой метод Ляпунова. Функции Ляпунова первого рода.
Свойства знакоопределенныхи знакопостоянныхфункций
Ляпунова. Функции Ляпунова второго рода. Бесконечно малый
высший предел . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 69
§ 3.4. Обращение теоремы Лагранжа .. .. .. .. .. .. ... .. 95
ГЛАВА 4. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению
. ...... ...... ...... ...... ...... . 105
§ 4.1. Линейные системы и зависимость свойств ихрешений
от корней характеристического уравнения .. .. .. ... .. 105
Стр.3
4
Оглавление
§ 4.2. Критерий отрицательности вещественныхчастей корней
характеристического уравнения .. .. .. .. .. .. ... .. 113
§ 4.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению
.. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 116
ГЛАВА 5. Исследование устойчивости методом анализа структуры
действующих сил . ...... ...... ...... ...... . 125
§ 5.1. Влияние потенциальныхи диссипативных сил . . . . . . . . 125
§ 5.2. Гироскопические силы и гироскопическая стабилизация.
Вековая и временная устойчивость . .. .. .. .. .. . . . . 131
§ 5.3. Устойчивость точек либрации ограниченной круговой задачи
трехтел . .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 136
ГЛАВА 6. Критические случаи теории устойчивости ...... . 149
§ 6.1. Критические случаи и ихзначение. «Опасность» и «безопасность»
границ области устойчивости. Каноническая
форма уравнений возмущенного движения для основных
критическихслучаев . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 149
§ 6.2. Критический случай одного нулевого корня . . . . . . . . . . 151
§ 6.3. Критический случай одной и несколькихпар чисто мнимых
корней корней .
. .
. . ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. 152
Литература ...... ...... ...... ...... ...... . 161
Стр.4