М.Е.ЧАНГА МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Москва Ижевск 2013 УДК 511 ББК 22.13 Ч18 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • математика • биология • нефтегазовые технологии Чанга М. <...> Формула замены тригонометрической суммы более короткой . <...> Оценка дзета-функции Римана на критической прямой . <...> Книга состоит из четырех глав, посвященных четырем основным методам аналитической теории чисел: методу комплексного интегрирования, методу тригонометрических сумм, методу решета и круговому методу. <...> Однако в книге Карацубы упор делаетсяна конкретные теоретико-числовые проблемы, методыже имеют второстепенное значение, поэтому из изложенияпрактически полностью выпадает метод решета, а круговой метод представлен только в одном из его аспектов. <...> Обозначения то есть k | n−m; (n1,. ,nk) — наибольший общий делитель, а [n1,. ,nk] — наименьшее общее кратное n1,. ,nk; p, p,p1,p2,. — простые числа; [x] — целаячасть x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x; {x} — дробнаядоля x, то есть x−[x],а (x)= 1 =min{x}, 1−{x}; s = σ +it — комплекснаяпеременная; x — расстояние от x до ближайшего целого числа, то есть x = 2 −{x}; Re s = σ — вещественнаячасть s,а Im s = t — мнимаячасть s; s = σ −it — комплексно сопряженное к s число; Γ(s) — гамма-функцияЭйлера; ζ(s) — дзета-функцияРимана; η(s) — функцияДедекинда; arg s — главное значение аргумента s; что A = O(B), то есть существует положительное c такое, что |A| cB; ln s — главнаяветвь логарифма, а ns есть es lnn; √s — главнаяветвь квадратного корня; запись AB (знак Виноградова) при положительном B означает, запись A B (знак Харди) означает, что AB и B A; c, c1,c2,. — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные; то есть существует целое q такое, что n = dq; запись n ≡ m(mod k) означает, что n и m сравнимы по модулю k, Запись d | n при натуральном d ицелом n означает, что d делит <...>
Методы_аналитической_теории_чисел.pdf
УДК 511
ББК 22.13
Ч18
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
технологии
Чанга М.
Методы аналитической теории чисел. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярнаяи
хаотическаядинамика», 2013. — 228 с.
Учебное пособие вводит в круг классических аналитических методов
теории чисел. Составлено по материалам специальных курсов, прочитанных
автором в Научно-образовательном центре при Математическом институте
им. В. А. Стеклова РАН. Cнабжено задачами для самостоятельного
решения.
Для студентов, аспирантов и лиц, изучающих аналитическую теорию
чисел. Предполагается знакомство читателя с математическим и комплексным
анализом, а также с элементарной теорией чисел.
ISBN 978-5-93972-951-2
М.Е. Чанга, 2013
c
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2013
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.13
Стр.2
Оглавление
Предисловие ... ..... ..... ..... ..... ..... 5
Обозначения ... ..... ..... ..... ..... ..... 7
Глава 1. Метод комплексного интегрирования . ..... 10
§ 1. Мультипликативные функции. Производящие ряды Дирихле
.... ....... ........ ....... ... 10
§ 2. Сумматорные функции. Формула Перрона .... ... 18
§ 3. Дзета-функцияРимана. Функциональное уравнение . . 24
§ 4. Нули дзета-функции Римана ..... ....... ... 31
§ 5. Асимптотический закон распределенияпростых чисел 41
§ 6. Проблема делителей Дирихле. Формула Вороного . . . 48
Глава 2. Метод тригонометрических сумм ... ..... 61
§ 1. Дробные доли вещественных функций.Критерий Вейля61
§ 2. Формула замены тригонометрической суммы более короткой
.... ....... ........ ....... ... 70
§ 3. Метод Вейля. Оценка дзета-функции Римана на критической
прямой ...... ........ ....... ... 79
§ 4. Метод ван дер Корпута. Проблема Гаусса ..... ... 85
§ 5. Метод Виноградова. Граница нулей дзета-функции Римана
..... ....... ........ ....... ... 96
Глава 3. Метод решета . ..... ..... ..... ..... 115
§ 1. Решето Эратосфена. Тригонометрические суммы с простыми
числами ...... ........ ....... ... 115
§ 2. Решето Бруна. Проблема простых чисел-близнецов . . 124
Стр.3
4
Оглавление
§ 3. Решето Сельберга. Теорема Бруна-Титчмарша . . . . . 140
§ 4. Решето с весом. Бинарнаяпроблема Гольдбаха . . . . . 149
§ 5. Большое решето. Аддитивный вариант метода . . . . . 162
Глава 4. Круговойметод ..... ..... ..... ..... 169
§ 1. Модулярные преобразования. Функция Дедекинда . . . 169
§ 2. Задача о количестве разбиений. Формула Радемахера . 182
§ 3. Аддитивные задачи с простыми числами. Проблемы
Гольдбаха . . ....... ........ ....... ... 196
§ 4. Нелинейные аддитивные задачи. Суммы пяти квадратов
...... ....... ........ ....... ... 211
§ 5. Оценка среднего значениямодуля тригонометрических
сумм ..... ....... ........ ....... ... 222
Литература .... ..... ..... ..... ..... ..... 226
Стр.4