О. В.Холостова Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде Москва Ижевск 2008 УДК 531.12/. <...> В книге излагается полное исследование классической задачи об устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (вращений Штауде). <...> Для наиболее простых частных случаев, когда центр масс тела лежит на главной оси инерции или когда тело динамически симметрично, проведен полный нелинейный анализ устойчивости во всем допустимом диапазоне изменения параметров задачи. <...> Для случая расположения центра масс тела в главной плоскости инерции и для общего случая распределения масс в теле получен подробный линейный анализ устойчивости, в ряде случаев найдены достаточные условия устойчивости. <...> Случайперманентных вращений вокруг осей, лежащих в главнойплоскости инерции (центр масс на главнойоси) . <...> . . . . . . . . . . . . 119 Введение Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки является предметом интенсивного исследования отечественных и зарубежных механиков на протяжении около 250 лет и в полной мере не решена до сих пор. <...> Поиск новых случаев интегрируемости уравнений Эйлера–Пуаcсона привел к обнаружению целого ряда частных случаев интегрируемости и частных решений, которые существуют, если не только на распределение масс в теле, но также и на начальные условия движения накладываются определенные ограничения. <...> Прецессионные движения тела с неподвижной точкой представляют собой суперпозицию двух вращений вокруг осей, фиксированных соответственно в теле и в абсолютном пространстве, угол между которыми остается неизменным. <...> Классическими примерами являются регулярные прецессии симметричного волчка Эйлера и волчка Лагранжа. <...> Частным случаем прецессионных движений являются перманентные вращения вокруг оси, фиксированной в теле и в абсолютном пространстве. <...> Классическими являются вращения волчка Эйлера вокруг осей, совпадающих с главными <...>
Исследование_устойчивости_перманентных_вращений_Штауде.pdf
УДК 531.12/.13
ББК 22.236.3
Х 737
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегаз о вые
т ехноло гии
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту
№08-01-07044.
Холостова О.В.
Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде. — М.–
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт
компьютерных исследований, 2008. — 128 с.
В книге излагается полное исследование классической задачи об устойчивости
перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого твердого тела с неподвижной
точкой (вращений Штауде). Для наиболее простых частных случаев, когда центр
масс тела лежит на главной оси инерции или когда тело динамически симметрично,
проведен полный нелинейный анализ устойчивости во всем допустимом диапазоне
изменения параметров задачи. Для случая расположения центра масс тела в главной
плоскости инерции и для общего случая распределения масс в теле получен
подробный линейный анализ устойчивости, в ряде случаев найдены достаточные
условия устойчивости.
Большая часть излагаемого в книге материала представляет собой собственные
исследования автора и публикуется впервые.
ISBN 978-5-93972-665-8
О.В.Холостова, 2008
c
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.236.3
Стр.2
Оглавление
Введение . . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 5
ГЛАВА 1. Постановка задачи. Допустимые дуги .. .. .. .
. .
. 14
1.1. Уравнения Эйлера–Пуаcсона. Конус Штауде . . . . . . .... 14
1.2. Канонические уравнения движения .... .... ... .... 16
1.3. Другой способ нахождения конусаШтауде .... ... .... 18
1.4. Простейшие частные случаи .... .... .... ... .... 19
1.5. Преобразование функции Гамильтона. Параметрызадачи . . 20
1.6. Геометрическая интерпретация. Допустимые дуги ... .... 23
1.7. О методе исследования ... .... .... .... ... .... 28
ГЛАВА 2. Исследование устойчивости перманентных вращений вокруг
главнойоси, содержащейцентр масс ... .. .. ... .. 33
2.1. Достаточные и необходимые условия устойчивости .. .... 33
2.2. Частные случаи .... ... .... .... .... ... .... 36
2.3. Нелинейный анализ устойчивости . .... .... ... .... 38
2.3.1. Нормализация квадратичной части .... ... .... 39
2.3.2. Поверхности резонанса четвертого порядка . . .... 39
2.3.3. Уравнение поверхности вырождения ... ... .... 42
2.3.4. Случай s = −1 . ... .... .... .... ... .... 42
2.3.5. Случай s =1 .. ... .... .... .... ... .... 44
2.3.6. Случай тонкой пластинки . . .... .... ... .... 48
ГЛАВА 3. Случайперманентных вращений вокруг осей, лежащих
в главнойплоскости инерции (центр масс на главнойоси) .. 50
3.1. Достаточные и необходимые условия устойчивости .. .... 50
3.2. Частные случаи .... ... .... .... .... ... .... 54
3.3. Нелинейный анализ устойчивости . .... .... ... .... 55
3.3.1. Нормализация квадратичной части .... ... .... 55
3.3.2. Уравнения поверхностей резонансов третьего и четвертого
порядков ... .... .... .... ... .... 57
3.3.3. Результатынелинейного анализа устойчивости .... 58
3.3.4. Два частных случая . .... .... .... ... .... 62
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 4. Случайдинамически симметричного тела .. ... .. 65
4.1. Достаточные и необходимые условия устойчивости .. .... 65
4.1.1. Допустимые области .... .... .... ... .... 65
4.1.2. Достаточные условия устойчивости .... ... .... 66
4.1.3. Необходимые условия устойчивости ... ... .... 68
4.2. Нелинейный анализ устойчивости . .... .... ... .... 72
4.2.1. Области 1 и 2 (дуга I) .... .... .... ... .... 74
4.2.2. Области 3 и 4 (дуга IV ) . . .... .... ... .... 79
4.2.3. Область 5 (дуга V ) . .... .... .... ... .... 81
ГЛАВА 5. Случайрасположения центра масс тела в главнойплоскости
инерции . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 83
5.1. Случай γ2 =0 . .... ... .... .... .... ... .... 83
5.2. Устойчивость вращений вокруг осей из плоскости (1.36) . . . 94
5.2.1. Достаточные условия устойчивости .... ... .... 95
5.2.2. Необходимые условия устойчивости ... ... .... 98
ГЛАВА 6. Исследование устойчивости в общем случае . ... .. 102
6.1. Допустимые области в случае (1.28) .... .... ... .... 102
6.2. Достаточные условия устойчивости .... .... ... .... 103
6.3. Необходимые условия устойчивости ... .... ... .... 109
6.4. Устойчивость перманентных вращений в случае (1.29) .... 115
Литература .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 119
Стр.4