Заметки по динамическим системам Книга известных ученыхЮргена Мозера и Эдуарда Цендера представляет собойвведение в теорию динамических систем, в частности, в особый класс гамильтоновых систем. <...> Излагая теоретические основы, авторы стремились использовать простейшие математические методы, а также множество примеров и иллюстраций из физики и небесноймеханики. <...> Устойчивые и хаотические движения в динамических системах: в приложении к небесноймеханике. <...> Они пытались найти решения уравнений движения N материальных точек, взаимодействующих посредством силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, и определить, существуют ли квазипериодические орбиты. <...> Он рассматривает случаи, когда движение N тел является устойчивым, охватывая такие темы, как гамильтоновы системы, теорема о закручивании (Мозера) и некоторые аспекты теории Колмогорова– Арнольда–Мозера. <...> Далее он исследует хаотические орбиты, рассматривая в качестве примера ограниченную задачу трех тел, и говорит о существовании и значимости гомоклинических точек. <...> Нормальные формы для гамильтоновых и обратимых систем 25 3. <...> Доказательство существования решения при наличии малых знаменателей . <...> . . . . . . . . . . . . 163 Предисловие Всю свою научную жизньЮргенМозер проявлял интерес к проблемам небесноймеханики и теории динамических систем. <...> Основными результатами, описанными в книге, являются теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ), которая доказывает, что многие регулярные квазипериодические решения сохраняются в почти интегрируемых гамильтоновых системах, и гомоклиническая теорема Смейла–Биркгофа, которая устанавливает эквивалентность между множеством орбит и сдвигом Бернулли. <...> Современная геометрическая теория динамических систем берет свое начало в 1880–1910 гг. в трудах Пуанкаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям и небесноймеханике и, частично, в его эссе по гамильтоновоймеханике и задаче трех тел [B], где он исследовал гомоклинические <...>
Устойчивые_и_хаотические_движения_в_динамических_системах_в_приложении_к__небесной_механике.pdf
УДК 530.1
ББК 22.31
М 805
Издание осуществлено при финансовойподдержке Российского
фонда фундаментальных исследованийпо проекту №08-01-07133
МозерЮ.
Устойчивые и хаотические движения в динамических системах: в приложении
к небесноймеханике. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 184 с.
В течение столетийастрономы интересовались движениями планет и методами
вычисления их орбит. Начиная с Ньютона, математики были увлечены родственнойзадачей
N тел. Они пытались найти решения уравнений движения N материальных
точек, взаимодействующих посредством силы, подчиняющейся закону
обратных квадратов, и определить, существуют ли квазипериодические орбиты. Попытки
ответить на эти вопросы привели к созданию методов нелинейной динамики
и теории хаоса.
В своейкниге, являющейся классической работойпо современной прикладнойматематике,
Юрген Мозер дает краткое описание двух столпов даннойтеории
— устойчивого и хаотического поведения. Он рассматривает случаи, когда движение
N тел является устойчивым, охватывая такие темы, как гамильтоновы системы,
теорема о закручивании (Мозера) и некоторые аспекты теории Колмогорова–
Арнольда–Мозера. Далее он исследует хаотические орбиты, рассматривая в качестве
примера ограниченную задачу трех тел, и говорит о существовании и значимости
гомоклинических точек. Данная книга незаменима для математиков, физиков
и астрономов, интересующихся динамикойсистем нескольких и большого количества
тел, а также фундаментальными идеями и методами анализа в даннойобласти.
По прошествии 30 лет лекции Мозера все еще остаются одним из лучших способов
проникнуть в захватывающие миры порядка и хаоса в динамике.
ISBN 978-5-93972-865-2
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Перевод на русскийязык:
Институт компьютерных исследований, 2010
Стр.6
Оглавление
Предисловие . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ix
ГЛАВА I. Введение .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 1
1. Задача устойчивости . ... .... .... .... ... .... 1
2. Исторические комментарии . .... .... .... ... .... 5
3. Другие задачи . .... ... .... .... .... ... .... 7
4. Неустойчивое и статистическое поведение .... ... .... 11
5. План .. .... .... ... .... .... .... ... .... 15
ГЛАВА II. Задачи устойчивости .. ... .. ... .. .. ... .. 17
1. Модельная задача на комплекснойплоскости ... ... .... 17
2. Нормальные формы для гамильтоновых и обратимых систем 25
3. Инвариантные многообразия .... .... .... ... .... 31
4. Теорема о закручивании .. .... .... .... ... .... 42
ГЛАВА III. Статистическое поведение .. .. ... .. .. ... .. 51
1. Сдвиг Бернулли. Примеры . .... .... .... ... .... 51
2. Сдвиг как топологическое отображение .. .... ... .... 55
3. Сдвиг как подсистема . ... .... .... .... ... .... 57
4. Альтернативные условия для C1-отображений.. ... .... 63
5. Ограниченная задача трех тел ... .... .... ... .... 70
6. Гомоклинические точки . . . .... .... .... ... .... 83
ГЛАВА IV. Заключительные замечания . . . ... .. .. ... .. 91
ГЛАВА V. Доказательство существования решения при наличии
малых знаменателей ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 94
1. Переформулировка теоремы 2.9 . . .... .... ... .... 94
2. Построение корня функции . .... .... .... ... .... 100
3. Доказательство теоремы 5.1 .... .... .... ... .... 107
4. Обобщения ... .... ... .... .... .... ... .... 116
A. Приложение к главе V . . ... .... .... .... ... .... 125
Стр.7
viii
ОГЛАВЛЕНИЕ
Скорость сходимости для метода § 2b) .. .... ... .... 125
Усовершенствованныйметод Хэлда .... .... ... .... 128
ГЛАВА VI. Доказательства и детали для главы III . . . ... .. 129
1. Краткое содержание .. ... .... .... .... ... .... 129
2. Поведение вблизи бесконечности . .... .... ... .... 130
3. Доказательство лемм 1 и 2 главы III .... .... ... .... 136
4. Доказательство леммы 3 главы III . .... .... ... .... 138
5. Доказательство леммы 4 главы III . .... .... ... .... 141
6. Доказательство леммы 5 главы III . .... .... ... .... 145
7. Доказательство теоремы 3.7 о гомоклинических точках .... 154
8. Несуществование интегралов ... .... .... ... .... 160
Литература .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 163
Стр.8