Монография активно работающего итальянского математика посвященна современной симплектической геометрии. <...> Глобальная главная функция Гамильтона для уравнения эйконала . <...> Глобальная главная функция Гамильтона на пространстве постоянной отрицательной кривизны . <...> Скобка Пуассона для функций особого вида . <...> Производящее семейство — гладкая вещественная функция, с помощью которой можно описать специальные подмножества кокасательного расслоения, названные здесь лагранжевыми множествами. <...> Если эти симплектические многообразия являются касательными расслоениями, то симплектическое соотношение имеет (локально или глобально) производящее семейство. <...> Симплектическая формулировка гамильтоновой оптики, представленная в главе 4, основана на том, что с геометрической точки зрения уравнение Гамильтона– Якоби представляет собой коизотропное подмногообразие кокасательного расслоения, а что геометрическое решение — лагранжево множество, содержащееся в нем. <...> Далее решения уравнения Гамильтона–Якоби описываются производящими семействами, а не функцией, как в классической теории. <...> В этом случае и задача Коши и воздействие линзы или зеркала на систему лучей формулируются как композиция производящих семейств. <...> В главе 5 показано, что нельзя обойтись без использования производящих семейств, если мы хотим придать глобальный смысл характеристической функции Гамильтона, с помощью которой можно получить все решения уравнения Гамильтона–Якоби, или если мы хотим описать очень сингулярные оптические явления, например, такие как система параллельных лучей, отражающихся в сферическом зеркале. <...> Глава 8, написанная совместно с Франко Кардином (факультет чистой и прикладной математики, университет г.Падуи), посвящена вычислениям глобальных основных функций Гамильтона для уравнений эйконала на двумерной сфере S2 ипсевдосфере H2. <...> • TQ— пространство касательного расслоения или просто касательное расслоение1 <...>
Гамильтоновы_структуры_и_производящие_семейства.pdf
УДК512.77+517.912+517.958
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегаз о вые
т ехноло гии
Бененти С.
Гамильтоновы структуры и производящие семейства. — М.–Ижевск: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных
исследований, 2009. — 280 с.
Монография активно работающего итальянского математика посвященна современной
симплектической геометрии. Основной акцент сделан на приложения
современного математического аппарата симплектической геометрии и топологии
в геометрической оптике, термодинамике и теории управления. Изложение отличается
высоким уровнем математической строгости.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей университетов,
специалистов.
ISBN 978-5-93972-775-4
С.Бененти, 2009
c
c
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Стр.2
Оглавление
Предисловие редактора перевода .. ... .. ... .. .. ... .. 6
Предисловие . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 7
ГЛАВА 1. Многообразия. Основные понятия ... .. .. ... .. 10
1.1. Касательные вектора и касательные расслоения . . . . .... 10
1.2. Касательный функтор . ... .... .... .... ... .... 13
1.3. Особые отображения . ... .... .... .... ... .... 14
1.4. Подмногообразия ... ... .... .... .... ... .... 15
1.5. Векторные поля .... ... .... .... .... ... .... 17
1.6. Интегральные кривые и потоки . . .... .... ... .... 18
1.7. Первые интегралы ... ... .... .... .... ... .... 20
1.8. Скобка Ли ... .... ... .... .... .... ... .... 21
1.9. 1-формы .... .... ... .... .... .... ... .... 22
1.10. Внешние формы .... ... .... .... .... ... .... 23
1.11. Внешняя алгебра .... ... .... .... .... ... .... 24
1.12. Поднятие форм . .... ... .... .... .... ... .... 25
1.13. Производные . . .... ... .... .... .... ... .... 26
1.14. Дифференциал . .... ... .... .... .... ... .... 27
1.15. Внутреннее произведение .. .... .... .... ... .... 29
1.16. Производная Ли .... ... .... .... .... ... .... 29
ГЛАВА 2. Симплектические многообразия и симплектические соотношения
... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 31
2.1. Симплектические многообразия . . .... .... ... .... 31
2.2. Симплектические векторные пространства .... ... .... 34
2.3. Особые подмногообразия . . .... .... .... ... .... 36
2.4. Характеристическое расслоение коизотропного подмногообразия
. . .... .... ... .... .... .... ... .... 39
2.5. Отношения ... .... ... .... .... .... ... .... 42
2.6. Симплектические отношения .... .... .... ... .... 44
2.7. Линейные симплектические отношения .. .... ... .... 46
2.8. Симплектические редукции .... .... .... ... .... 48
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
2.9. Симплектические отношения, порожденные коизотропным
подмногообразием ... ... .... .... .... ... .... 53
2.10. Симплектическая формулировка задачи Коши . . ... .... 58
2.11. Изоморфизм симплектических редукций . .... ... .... 60
ГЛАВА 3. Симплектические отношения на кокасательных расслоениях
. . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 62
3.1. Кокасательные расслоения . .... .... .... ... .... 62
3.2. 1-формы как сечения кокасательных расслоений . . . . .... 64
3.3. Каноническая симплектическая структура кокасательного
расслоения . . . .... ... .... .... .... ... .... 65
3.4. Лагранжевы сингулярности и каустики .. .... ... .... 68
3.4.1. Параметрические уравнения .... .... ... .... 70
3.4.2. Неявные уравнения . .... .... .... ... .... 71
3.4.3. Производящие функции ... .... .... ... .... 72
3.5. Производящие семейства . . .... .... .... ... .... 73
3.6. Производящие семейства симплектических отношений .... 82
3.7. Композиция производящих семейств . . . .... ... .... 84
3.8. Каноническое поднятие подмногообразий .... ... .... 86
3.9. Каноническое поднятие отношений .... .... ... .... 89
ГЛАВА 4. Геометрия уравнения Гамильтона–Якоби . . . ... .. 91
4.1. Уравнение Гамильтона–Якоби ... .... .... ... .... 91
4.2. Характеристики и лучи ... .... .... .... ... .... 96
4.3. Системы лучей и волновые фронты .... .... ... .... 98
4.4. Главная функция Гамильтона .... .... .... ... .... 101
4.5. Теорема Якоби . .... ... .... .... .... ... .... 105
4.6. От полного интеграла к главной функции Гамильтона .... 109
4.7. Источники, зеркала, линзы . .... .... .... ... .... 112
ГЛАВА 5. Гамильтонова оптика в евклидовых пространствах .. 119
5.1. Функция расстояния . . . . . .... .... .... ... .... 119
5.2. От волновой оптики к геометрической . . .... ... .... 127
5.3. Глобальная главная функция Гамильтона для уравнения эйконала
.. .... .... ... .... .... .... ... .... 130
5.4. Глобальная главная функция Гамильтона на пространстве
постоянной отрицательной кривизны ... .... ... .... 145
ГЛАВА 6. Управление статическими системами .. .. .. .
. .
. 153
6.1. Управляющее отношение .. .... .... .... ... .... 153
6.2. Простые замкнутые термостатические системы . ... .... 173
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
6.3. Внутренняя энергия .. ... .... .... .... ... .... 175
6.4. Идеальный газ . .... ... .... .... .... ... .... 177
6.5. Газ Ван дер Ваальса .. ... .... .... .... ... .... 182
6.6. Методы управления .. ... .... .... .... ... .... 186
6.7. Преобразование Лежандра . .... .... .... ... .... 188
6.8. Термостатические потенциалы . . . .... .... ... .... 191
6.9. Переход от внутренней энергии к свободной .. ... .... 196
6.10. Простые открытые термостатические системы .. ... .... 199
6.11. Составные термостатические системы . . .... ... .... 202
ГЛАВА 7. Вспомогательные справочные материалы .. ... .. 214
7.1. Симплектические отношения, порожденные подмногообразием
... .... .... ... .... .... .... ... .... 214
7.2. Каноническое поднятие редукций и диффеоморфизмов .... 216
7.3. Основные наблюдаемые ... .... .... .... ... .... 217
7.4. Каноническое поднятие векторных полей . .... ... .... 218
7.5. Регулярные распределения и теорема Фробениуса ... .... 220
7.6. Точные лагранжевы подмногообразия ... .... ... .... 225
7.7. Отношения дуальности ... .... .... .... ... .... 230
7.8. Лагранжевы разложения и канонический базис . ... .... 236
7.9. Каноническая симплектическая структура на комплексных
проективных пространствах .... .... .... ... .... 240
ГЛАВА 8. Глобальные главные функции Гамильтона для уравне8.2.
Главная функция Гамильтона на S2 .... .... ... .... 252
8.3. Главная функция Гамильтона на H2 .... .... ... .... 258
ний эйконала на S2 и H2 .. .. ... .. ... .. .. ... .. 242
8.1. Векторное исчисление в вещественном трехмерном пространстве
.... .... ... .... .... .... ... .... 242
8.1.1. Метрический тензор и скалярное произведение .... 242
8.1.2. Форма объема . ... .... .... .... ... .... 244
8.1.3. Векторное произведение .. .... .... ... .... 245
8.1.4. Вращения .... ... .... .... .... ... .... 246
8.1.5. Стандартная симплектическая структура на ориентируемой
поверхности . .... .... .... ... .... 248
8.1.6. Скобка Пуассона для функций особого вида . . .... 251
Предметный указатель ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 273
Стр.5