Её цель — показать, как с необыкновенной красотой переплетаются в геометрии векторных расслоений самые разные ветви современной математики: классические алгебраическая и дифференциальная геометрия, лагранжева геометрия и геометрическое квантование, дифференциальные уравнения на многообразиях и анализ Фурье, теория представлений и комбинаторика графов, калибровочные теории и квантовая теория поля . <...> Алгебраическая геометрия ϑ-функций предельных м-кривых 156 Литература . <...> В абелевом случае3 фиксация дополнительных комбинаторных данных — так называемых ϑ-структур уровня k — доставляет специальные базисы в пространствах сечений тензорных степеней канонической поляризации якобиана, что позволяет представлять сечения голоморфными функциями на «абелевом пространстве Шоттки» (C∗)g и писать замечательные явные аналитические формулы, широко использующиеся в Ур ЧП, теории интегрируемых систем и классической механике (см. ссылки в [21]). <...> Оказалось, однако, что методы конформной теории поля (т. е. теории в размерности 2= 1 + 1)и 1«Vector Bundles on Curves and Generalized Theta Functions: Recent Results and Open Problems». <...> Обе эти конструкции вводят в исходную классическую механическую систему одинаковые дополнительные данные предквантования —пару (L,∇), состоящую из комплексного эрмитова линейного расслоения L (с фиксированной эрмитовой формой h) и унитарной связности ∇ на L с формой кривизны F∇ =2πiω. <...> Последнее требование накладывает сильное ограничение на исходную симплектическую структуру — оно означает, что класс когомологий симплектической формы является целочисленным: [ω] ∈ H2(M,Z). волновых функций пространство глобальных сечений H =Γ∞(L), снабженное эрмитовым скалярным произведением s, s = 1 n! <...> Тем не менее, такое включение все же происходит в двух специальных случаях: • когда вещественная поляризация Π вполне интегрируема, т. е. является распределением касательных плоскостей некоторого лагранжева слоения M π − →B, (1.5) общий слой <...>
Квантование,_классическая_и_квантовая_теории_поля_и_тэта-функции.pdf
УДК 512.6, 514.7, 514.8, 517.9, 519.17
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефт е г а зовые
т ехнологии
Тюрин А.Н.
Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 168 стр.
Эта книга — уникальная монография о векторных расслоениях на кривых, написанная
одним из самых ярких геометров нашего времени. Её цель — показать,
как с необыкновенной красотой переплетаются в геометрии векторных расслоений
самые разные ветви современной математики: классические алгебраическая и
дифференциальная геометрия, лагранжева геометрия и геометрическое квантование,
дифференциальные уравнения на многообразиях и анализ Фурье, теория представлений
и комбинаторика графов, калибровочные теории и квантовая теория поля . . .
Автор щедро делится с читателем замечательными геометрическими конструкциями,
остроумными идеями и нерешёнными вопросами, вскрывающими глубокие
связи между на первый взгляд далёкими друг от друга разделами математики и
математической физики.
ISBN 5-93972-284-9
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Институт компьютерных исследований, 2003, для издания на русском языке
Стр.4
Оглавление
Введение ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 7
ГЛАВА 1. Процесс квантования .. .. ... .. .. ... .. ... 9
§ 1. Конструкция . .... ... .... .... .... ... .... . 9
§ 2. Вещественная поляризация (симплектическая геометрия) . . 12
§ 3. Келерово квантование (алгебраическая геометрия) . .... . 14
§ 4. Расширенная теория Кодаиры–Спенсера .... ... .... . 17
§ 5. Строгие модулярные соответствия .... .... ... .... . 23
§ 6. Полное квантование . ... .... .... .... ... .... . 24
ГЛАВА 2. Алгебраические кривые = римановы поверхности ... 26
§ 1. Прямой подход .... ... .... .... .... ... .... . 26
§ 2. Якобианы ... .... ... .... .... .... ... .... . 27
§ 3. Алгебро-геометрическая теория ϑ-функций .. ... .... . 28
§ 4. Комбинаторно-симплектическая теория ϑ-функций . .... . 30
§ 5. Плоские голоморфные абелевы связности ... ... .... . 35
§ 6. Полное квантование . ... .... .... .... ... .... . 39
ГЛАВА 3. Неабелевы ϑ-функции .. .. ... .. .. ... .. ... 42
§ 1. Алгебраическая геометрия многообразий модулей векторных
расслоений . . .... ... .... .... .... ... .... . 42
§ 2. Голоморфные плоские связности . .... .... ... .... . 45
§ 3. Многообразия модулей стабильных пар и разрешение особенностей
... .... ... .... .... .... ... .... . 50
§ 4. Голоморфная симплектическая геометрия полей Хиггса . . . 52
§ 5. Калибровочная теория на римановой поверхности .. .... . 55
§ 6. Комплексная поляризация пространства RC(π1(Σ), SU(2)) .. 58
§ 7. Вычисление рангов . ... .... .... .... ... .... . 61
§ 8. Связности Хитчина . ... .... .... .... ... .... . 66
Стр.7
6ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 4. Симплектическая геометрия многообразия модулей векторных
расслоений . . . . . ... .. ... .. .. ... .. ... 70
§1. U(1)-действие Голдмана . .... .... .... ... .... . 70
§ 2. Вещественная поляризация .... .... .... ... .... . 73
§ 3. Бор-зоммерфельдовы слои .... .... .... ... .... . 75
§ 4. Модель Дельцана . . ... .... .... .... ... .... . 77
ГЛАВА 5. WZW CQFT . . . . . ... .. ... .. .. ... .. ... 80
§ 1. WZW-версия . .... ... .... .... .... ... .... . 80
§ 2. WZW-связность ... ... .... .... .... ... .... . 85
§ 3. Монодромные представления ... .... .... ... .... . 86
ГЛАВА 6. Тривалентные графы .. .. ... .. .. ... .. ... 88
§ 1. Спин-сетки . . .... ... .... .... .... ... .... . 88
§ 2. Трехмерная топология ... .... .... .... ... .... . 89
§ 3. Геометрия графов .. ... .... .... .... ... .... . 91
§ 4. Петлевой комплекс, комплекс раскроек и комплекс графов . . 99
§ 5. Калибровочная теория на графах .... .... ... .... . 105
§6. Абелева версия: U(1)-спин-сетки .... .... ... .... . 108
§ 7. Гармонический анализ SU(2)-спин-сеток .... ... .... . 110
§ 8. MS-версия RCFT и представление Коно .... ... .... . 113
ГЛАВА 7. Аналитические аспекты теории неабелевых ϑ-функций 122
§ 1. Унитарное пространство Шоттки .... .... ... .... . 122
§2. g-расширение конструкции Холла для SU(2) .. ... .... . 123
ГЛАВА 8. Отображение Бортвика –Пола –Урибе .. ... .. ... 128
§ 1. Геометрия лагранжевых циклов . .... .... ... .... . 128
§ 2. Лежандровы распределения ... .... .... ... .... . 131
§ 3. Геодезический подъем ... .... .... .... ... .... . 136
ГЛАВА 9. Точки максимального вырождения .. .. ... .. ... 142
§1. Предельные м-кривые ... .... .... .... ... .... . 142
§ 2. Канонические линейные системы .... .... ... .... . 143
§ 3. Специальные однопараметрические деформации предельных
м-кривых .... ... .... .... .... ... .... . 145
§ 4. Специальная двупараметрическая деформация предельных
м-кривых ... .... ... .... .... .... ... .... . 149
§ 5. Модулярная конфигурация .... .... .... ... .... . 151
§6. Pic0(PΓ) и модули расслоений на м-кривых . . ... .... . 152
§ 7. Алгебраическая геометрия ϑ-функций предельных м-кривых 156
Литература .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 159
Стр.8