А. И.СУББОТИН ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Перспективы динамической оптимизации Перевод с английского Н. Н.Субботиной Москва Ижевск 2003 УДК 515.353 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №02-01-14123. <...> Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. <...> Среди получивших признание и стремительно развивающихся в последнее время концепций: энтропийные решения С.Н.Кружкова, вязкостные решения М. <...> В книге излагается созданная А.И.Субботиным теория минимаксных решений, которая имеет истоки в теории позиционных дифференциальных игр Н.Н.Красовского, и может рассматриваться, как неклассический метод характеристик, где минимаксное решение должно быть слабо инвариантным относительно характеристических дифференциальных включений. <...> Приведены теоремы существования, единственности и корректности минимаксных решений, иллюстрационные модельные примеры и приложения к теории оптимального управления и дифференциальным играм, конструктивные и численные методы построения минимаксных решений, а также необходимые факты из теории дифференциальных включений, негладкого анализа и теории классических решений уравнений Гамильтона –Якоби. <...> Для специалистов в области теории дифференциальных уравнений, динамической оптимизации, негладкого анализа и их приложений, а также для преподавателей, студентов и аспирантов соответствующих специальностей. <...> Единственность минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона –Якоби . <...> Конструктивные и численные методы теории дифференциальных игр . <...> Краевые задачи для УЧП первого порядка . <...> Кусочно-линейные приближения минимаксных решений для уравнений Гамильтона –Якоби . <...> Пример такой ситуации доставляет функция цены в дифференциальной игре или задаче оптимального управления. <...> Известно, что во всех точках дифференцируемости эта функция удовлетворяет <...>
Обобщенные_решения_уравнений_в_частных_производных_первого_порядка._Перспективы_динамической_оптимизации..pdf
УДК 515.353
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
по проекту №02-01-14123.
Субботин А.И.
Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка.
Перспективы динамической оптимизации. — Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2003, 336 стр.
С уравнениями Гамильтона –Якоби и другими типами уравнений в частных производных
первого порядка имеют дело многие разделы математики, механики, физики и их приложений.
Как правило, функции, имеющие содержательный смысл в рассматриваемых задачах, не являются
достаточно гладкими, чтобы удовлетворять этим уравнениям в классическом смысле.
Таким образом, возникает необходимость вводить понятие обобщенного решения и развивать
теорию и методы построения этих решений. Такие теории активно создаются и развиваются
в течение последних 50-ти лет. Среди получивших признание и стремительно развивающихся
в последнее время концепций: энтропийные решения С.Н.Кружкова, вязкостные решения
М.Крэндалла и П.Л.Лионса, обобщенные решения на базе идемпотентного анализа, предложенные
В.П.Масловым.
В книге излагается созданная А.И.Субботиным теория минимаксных решений, которая
имеет истоки в теории позиционных дифференциальных игр Н.Н.Красовского, и может
рассматриваться, как неклассический метод характеристик, где минимаксное решение должно
быть слабо инвариантным относительно характеристических дифференциальных включений.
Приведены теоремы существования, единственности и корректности минимаксных решений,
иллюстрационные модельные примеры и приложения к теории оптимального управления
и дифференциальным играм, конструктивные и численные методы построения минимаксных
решений, а также необходимые факты из теории дифференциальных включений,
негладкого анализа и теории классических решений уравнений Гамильтона –Якоби.
Для специалистов в области теории дифференциальных уравнений, динамической оптимизации,
негладкого анализа и их приложений, а также для преподавателей, студентов и
аспирантов соответствующих специальностей.
ISBN 5-93972-206-7
c
Институт компьютерных исследований, 2003
http://rcd.ru
Стр.4
Оглавление
Введение ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 7
ГЛАВА I. Обобщенные характеристики уравнений в частных производных
первого порядка ... .. ... .. .. ... .. ... 12
1. Классический метод характеристик . . . .... ... .... . 12
2. Характеристические включения . .... .... ... .... . 19
3. Верхние и нижние полунепрерывные решения . ... .... . 27
4. Критерии слабой инвариантности минимаксных решений . . 37
5. Кусочно-гладкие решения . .... .... .... ... .... . 54
ГЛАВА II. Задачи Коши для уравнений Гамильтона–Якоби . ... 67
6. Минимаксные решения уравнений Гамильтона –Якоби . . . . 67
7. Единственность минимаксного решения задачи Коши для
уравнения Гамильтона –Якоби .. .... .... ... .... . 74
8. Существование минимаксного решения задачи Коши для
уравнения Гамильтона –Якоби .. .... .... ... .... . 81
9. Единственность при ослабленных предположениях . .... . 99
10. Конструктивные и численные методы . . .... ... .... . 110
ГЛАВА III. Дифференциальные игры . ... .. .. ... .. ... 130
11. Основные понятия теории дифференциальных игр . .... . 130
12. Доказательство существования функции цены дифференциальной
игры . .... ... .... .... .... ... .... . 141
13. Стабильные мосты и экстремальные стратегии ... .... . 150
14. Некоторые замечания ... .... .... .... ... .... . 164
15. Смешанные позиционные стратегии и контрстратегии . . . . 179
16. Конструктивные и численные методы теории дифференциальных
игр . . .... ... .... .... .... ... .... . 195
ГЛАВА IV. Краевые задачи для УЧП первого порядка .. .. ... 220
17. Задача Коши для уравнений Гамильтона –Якоби с дополнительными
условиями в форме неравенств .... ... .... . 220
18. Разрывные решения краевой задачи типа Дирихле . . .... . 240
19. Дифференциальные игры на оптимум времени . . . . .... . 259
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
20. Кусочно-линейные приближения минимаксных решений для
уравнений Гамильтона –Якоби .. .... .... ... .... . 274
Приложение . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 284
A1. Доказательство классического метода характеристик .... . 284
A2. Многозначные отображения ... .... .... ... .... . 287
A3. Полунепрерывные функции ... .... .... ... .... . 289
A4. Выпуклые функции . ... .... .... .... ... .... . 290
A5. Контингентные конусы, производные по направлениям, субдифференциалы
. . . . . . .... .... .... ... .... . 291
A6. Об одном свойстве субдифференциалов . .... ... .... . 298
A7. Дифференциальные включения . .... .... ... .... . 302
A8. Критерии слабой инвариантности .... .... ... .... . 305
Литература .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 315
Предметный указатель .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 334
Стр.6