В книге изучаются уравнения релятивистской теории поля и, в частности, рассматриваются свойства ковариантности и симметрии уравнений Дирака –Максвелла и Дирака –Янга –Миллса. <...> Уравнения Дирака –Максвелла в пространстве Минковского . <...> Модельные уравнения Дирака –Максвелла с калибровочной псевдоунитарной симметрией . <...> Две экспоненты от элементов второго ранга . <...> Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса с локальной спинорной симметрией . <...> Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией на псевдоримановом многообразии . <...> Модельные уравнения в формализме алгебры Атьи– Кэлера . <...> Тензоры со значениями в алгебре Атьи–Кэлера . <...> Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы в формализме алгебры Атьи–Кэлера . <...> Связь спинорного многообразия X1,3 с пространствами Римана –Картана . <...> Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией . <...> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Список обозначений C C4 R R1,3 η xµ ∂µ γµ ψ Mat(n,C) Mat(n,R) detA trA AT ← A† A 1 Tp q Mat(4,C)Tp O(1, 3) O+(1, 3) SO(1, 3) SO+(1, 3) U(n) − поле комплексных чисел; четырехмерное векторное комплексное пространство; поле вещественных чисел; пространство Минковского; матрица Минковского; декартовы координаты пространства Минковского; частные производные ∂/∂xµ; матрицы Дирака; дираковски сопряженный спинор; алгебра комплексных квадратных матриц порядка n; алгебра вещественных матриц порядка n; определитель матрицы; след матрицы; транспонированная матрица; комплексно сопряженная матрица; эрмитово сопряженная матрица (матрица транспонирована и взято комплексное сопряжение от ее элементов); единичная матрица; множество тензорных полей типа (p, q); q множество тензорных полей типа (p, q) со значениями в алгебре матриц Mat(4, C); группа Лоренца; ортохронная группа Лоренца; собственная группа Лоренца; собственная ортохронная группа Лоренца; группа Ли унитарных матриц порядка n; 8 U(r, s) SU(n) SU(r, s) Cℓ(p, q) Cℓk(p, q) CℓR(p, q) СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ группа Ли псевдоунитарных матриц порядка r +s <...>
Уравнения_теории_поля_и_алгебры_Клиффорда.pdf
УДК 512.62
ББК 22.144.7
М30
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• ма т ема тика
• биол о гия
• нефт е г а з о вые
т е х но ло гии
Марчук Н.Г.
Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», 2009. — 304 с.
В книге изучаются уравнения релятивистской теории поля и, в частности, рассматриваются
свойства ковариантности и симметрии уравнений Дирака –Максвелла
и Дирака –Янга –Миллса. Вводится ряд новых систем уравнений, называемых модельными
уравнениями теории поля. Эти системы уравнений воспроизводят основные
свойства стандартных систем уравнений теории поля. В тоже время модельные
уравнения имеют ряд отличий от стандартных уравнений теории поля, и, в частности,
они обладают новой внутренней симметрией по отношению к псевдоунитарной
(либо симплектической, либо спинорной) группе. Разработка концепции локальной
псевдоунитарной (симплектической, спинорной) симметрии модельных уравнений
теории поля ведет к далеко идущим следствиям. В книге используется математический
аппарат алгебр Клиффорда.
ISBN 978-5-93972-761-7
-Н.Г.Марчук, 2009
c
c
-НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
ББК 22.144.7
Стр.2
Оглавление
Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ГЛАВА 1. Уравнения Дирака –Максвелла . . . . . . . . . . . . . 23
1.1. Пространство Минковского и тензорные поля . . . . . . . . . 23
1.2. Уравнения Дирака –Максвелла в пространстве Минковского . 25
1.3. Зарядовое сопряжение спиноров Дирака . . . . . . . . . . . . 35
ГЛАВА 2. Модельные уравнения Дирака –Максвелла . . . . . . . 39
2.1. Модельная система уравнений Дирака –Максвелла . . . . . . 39
2.2. Модельные уравнения Дирака –Максвелла с калибровочной
псевдоунитарной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3. Формула для Cµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4. Спиноризация модельных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 44
ГЛАВА 3. Алгебры Клиффорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1. Группы, векторные пространства, алгебры . . . . . . . . . . . 50
3.2. Алгебры Грассмана Λ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Алгебры Клиффорда Cℓ(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4. Клиффордово умножение элементов алгебры Грассмана . . . 58
3.5. Коммутаторы и антикоммутаторы . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6. Теорема о свертке генераторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7. Операторы сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8. Структура унитарного (или евклидова) пространства на алгебрах
Клиффорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.9. Эрмитовы идемпотенты и смежные структуры . . . . . . . . . 76
3.10. Нормальные представления элементов алгебр Клиффорда
в виде комплексных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.11. Матричные представления алгебры Cℓ(1, 3) . . . . . . . . . . . 87
3.12. Другие матричные представления алгебры Cℓ(1, 3) . . . . . . 91
3.13. Вторичные генераторы алгебры Cℓ(1, 3) . . . . . . . . . . . . . 94
Стр.3
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.14. Простейшие операции над элементами алгебры Cℓ(1, 3) . . . . 95
3.15. Множество CℓR
EOO(1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ГЛАВА 4. Группы и алгебры Ли, связанные с алгебрами Клиффорда
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1. Унитарная группа алгебры Клиффорда . . . . . . . . . . . . . 104
4.2. Случай алгебры Клиффорда Cℓ(1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3. Псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда . . . . . . . . . 110
4.4. Симплектическая подгруппа псевдоунитарной группы . . . . 115
4.5. Спинорные и ортогональные группы . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6. Две экспоненты от элементов второго ранга . . . . . . . . . . 121
4.7. Группы Pin(1, 3), Pin+(1, 3), Spin(1, 3) и Spin+(1, 3) . . . . . 127
4.8. Унитарные подгруппы псевдоунитарной, симплектической
и спинорных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
ГЛАВА 5. Модельные уравнения теории поля в формализме алгебры
Клиффорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1. Тензоры со значениями в алгебре Клиффорда . . . . . . . . . 135
5.2. Уравнения Янга –Миллса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса . . . . . . . . . 138
5.4. Гамильтонова форма модельных уравнений Дирака –Максвелла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5. Локализация псевдоунитарной симметрии . . . . . . . . . . . 152
5.6. Модельные уравнения с двумя полями Янга –Миллса . . . . . 158
5.7. Полудивергентный вид модельного уравнения Дирака . . . . 161
5.8. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса с локальной
спинорной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.9. Операция зарядового сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . 164
ГЛАВА 6. Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.1. Псевдориманово спинорное многообразие . . . . . . . . . . . 166
6.2. Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии . . 176
6.3. Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией
на псевдоримановом многообразии . . . . . . . . . . . . . . . 180
ГЛАВА 7. Модельные уравнения в формализме алгебры Атьи–
Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.1. Дифференциальные формы и тетрада на спинорном многообразии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2. Тензоры со значениями в алгебре Атьи–Кэлера . . . . . . . . 189
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
7.3. Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы в формализме
алгебры Атьи–Кэлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4. Формальные частные производные Dµ . . . . . . . . . . . . . 193
7.5. Операторы ⋆, d, δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.6. Связь спинорного многообразия X1,3 с пространствами Римана
–Картана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.7. Формальные ковариантные производные . . . . . . . . . . . . 203
7.8. Модельные уравнения с псевдоунитарной симметрией . . . . 205
7.9. Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией . 211
ГЛАВА 8. Модельные уравнения теории поля в матричном формализме
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.1. Модельные уравнения Дирака –Максвелла . . . . . . . . . . . 216
8.2. Связь между стандартными и модельными уравнениями Дирака
–Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.3. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса . . . . . . . . . 224
8.4. Модельные уравнения Дирака –Янга –Миллса с локальной
псевдоунитарной симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.5. Модельные уравнения с двумя полями Янга –Миллса . . . . . 230
8.6. Модельная система уравнений со спинорной локальной симметрией
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
ГЛАВА 9. Специальные модельные уравнения . . . . . . . . . . . 239
9.1. Основная идея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.2. Алгебры Ли антиэрмитовых дифференциальных форм . . . . 246
9.3. Основные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.4. Неабелевы законы сохранения заряда . . . . . . . . . . . . . . 250
9.5. Унитарная и спинорная калибровочные симметрии . . . . . . 251
ГЛАВА 10. Амплитуда в релятивистских уравнениях поля . . . . 253
10.1. Модельные уравнения Дирака –Максвелла с локальной спинорной
симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.2. Специальные модельные уравнения Дирака –Максвелла . . . 255
10.3. Фиксация спинорной калибровки . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4. Частный случай aµ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
ГЛАВА 11. Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.1. Ковариантные преобразования и симметрии модельных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.2. Формулы для коммутаторов и антикоммутаторов . . . . . . . 272
11.3. Матричные представления генераторов алгебр Клиффорда . . 276
Стр.5
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
11.4. Выражение компонент тетрады через компоненты метрического
тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.5. Алгебраические операции над тензорами . . . . . . . . . . . . 287
11.6. Гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.7. P.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Стр.6