Производные по направлению и точки гладкости . <...> Критерий единственности минимальных проекторов в ln 7 Заключительные замечания . <...> Представление Новикова –Кастэна и его следствия . <...> Сразу бы хотелось отметить, что данная книга является промежуточным звеном между учебниками для вузов и втузов по математическому программированию и современными изданиями для научных работников, специалистов по функциональному анализу, как, например, «Выпуклый анализ и его приложения» Г.Г.Магарила-Ильяева и В. М.Тихомирова 2003 г. или «Субдифференциальное исчисление» А.Г.Кусраева и С. С.Кутателадзе 2007 г. Тем не менее приложения, рассмотренные нами во второй части книги, в этих изданиях практически не рассматривались. <...> Первым классом функций, изучавшимся в этом исчислении, и послужили выпуклые функции. <...> 14 ВВЕДЕНИЕ В конце первой части в двух приложениях рассмотрена аксиоматическая теория выпуклости, нашедшая свое применение в теории экстремальных задач (приложение А), и сведения об одном классе банаховых пространств (равномерно выпуклые пространства) и важном классе подмножеств (чебышевские подмножества), представляющих особый интерес в теории аппроксимации (приложение В). <...> Нулевой вектор пространства X будем обозначать через 0. ной комбинацией векторов xi (i ∈ I) будем понимать вектор x,имеющий представление где только конечное число скаляров ai отлично от нуля. <...> Подмножество пространства X называется его линейным подпроx = i∈I странством, если оно содержит все возможные линейные комбинации своих элементов. <...> Отсюда следует, что каждое линейно независимое подмножество линейного пространства содержится в некотором базисе этого пространства. <...> Из определения следует, что линейные пространства X и Y имеют одинаковую размерность в точности тогда, когда они изоморфны,то есть существует линейная биекция между X и Y . <...> ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ СОПРЯЖЕННЫЕ и тем же полем скаляров. <...> Те гиперплоскости, которые содержат нулевой <...>
Основы_выпуклого_анализа.pdf
УДК 514.17
ББК 22.151
Л42
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегаз о вые
т ехноло гии
ОдинецВ.П.,ШлензакВ.А.
Основы выпуклого анализа / Авториз. пер. с польск. В.П.Одинца при участии
М.Я.Якубсона / Под ред. В. Н.Исакова. — М.–Ижевск: Ижевский институт
компьютерных исследований, 2011. — 520 с.
Книга В.П.Одинца и В.А.Шлензака является введением в современную теорию
выпуклого анализа, возникшую в середине XX века на стыке классического
анализа, геометрии, теоретико-множественной топологии и динамических систем.
Эта теория служит основой классического линейного и нелинейного программирования
и вычислительных методов корректных и некорректных экстремальных задач.
Данное издание расширено с учетом результатов, появившихся после ее выхода
на польском языке. Книга представляет интерес как для профессиональных
математиков, так и для информатиков, инженеров и экономистов. Она доступна
студентам старших курсов университетов (классических и технических), а также
педвузов.
ISBN 978-5-4344-0027-5
В. П.Одинец, В. А.Шлензак, 2011
c
c
В. П.Одинец, М. Я.Якубсон, перевод на русский язык, 2011
c
В. П.Одинец, послесловие, 2011
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Институт компьютерных исследований, 2011
ББК 22.151
Стр.4
Оглавление
Предисловие к русскому изданию . ... .. ... .. .. ... .. 9
Часть I. Основные понятия и методы выпуклого
анализа
11
Введение . . . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 13
ГЛАВА I. Элементарные свойства выпуклых множеств . ... .. 15
§ 1. Линейные пространства и их сопряженные .... ... .... 15
§ 2. Выпуклые множества . ... .... .... .... ... .... 25
§ 3. Ядра множеств линейного пространства . .... ... .... 43
ГЛАВА II. Элементарные свойства выпуклых функций ... .. 52
§ 4. Выпуклые функции .. ... .... .... .... ... .... 52
§ 5. Существование и единственность минимума выпуклой функции
... .... .... ... .... .... .... ... .... 61
§ 6. Свойства множества conv(A). Сублинейные функции . .... 69
§ 7. Теоремы отделимости . ... .... .... .... ... .... 76
ГЛАВА III. Элементы теории упорядоченных пространств .. .. 83
§ 8. Клинья и выпуклые конусы .... .... .... ... .... 83
§ 9. Сублинейные операторы и суперлинейные мультифункции . . 87
§ 10. Векторные решетки . . ... .... .... .... ... .... 101
ГЛАВА IV. Простейшие применения выпуклого анализа ... .. 118
§ 11. Теоремы о продолжении. Опорные гиперплоскости . . .... 118
§ 12. Субградиент и субпроизводная ... .... .... ... .... 127
§ 13. Применение теорем об отделении к системам уравнений
и неравенств . . .... ... .... .... .... ... .... 132
§ 14. Производные по направлению и точки гладкости ... .... 138
§ 15. Экстремальные множества . .... .... .... ... .... 149
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА V. Выпуклый анализ в программировании . . . ... .. 165
§ 16. Выпуклое и линейное программирование . .... ... .... 165
§ 17. Расширение линейной программы . .... .... ... .... 178
§ 18. Симплекс-алгоритм .. ... .... .... .... ... .... 187
§ 19. Задачи линейного параметрического программирования . . . 198
§ 20. Двойственность в математическом программировании .... 205
Упражнения .. .... .... ... .... .... .... ... .... 219
Комментарий к литературе глав I–V ... .... .... ... .... 220
Основная литература к главам I–V .... .... .... ... .... 222
Дополнительная литература к главам I–V .... .... ... .... 226
ПРИЛОЖЕНИЕ A. Введение в аксиоматическуютеорию выпуклости246
Литература к приложению A ... .... .... .... ... .... 258
ПРИЛОЖЕНИЕ B. Модуль выпуклости. Равномерно выпуклые пространства.
Чебышевские множества и подпространства .. .. 260
Литература к приложению B ... .... .... .... ... .... 268
Часть II. Применения выпуклого анализа в теории
минимальных проекторов и теории селекторов
271
Предисловие ко второй части .. .. ... .. ... .. .. ... .. 273
ГЛАВА VI. Обзор основных фактов выпуклого анализа на топологическом
языке . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 274
§ 21. Выпуклые множества и их отделимость . .... ... .... 274
§ 22. Выпуклые функции .. ... .... .... .... ... .... 279
§ 23. Огибающая аффинных непрерывных функций . . . . . .... 283
§ 24. Сопряженные функции (поляры) .. .... .... ... .... 285
§ 25. Субдифференцируемость . . .... .... .... ... .... 289
§ 26. Оптимизация на выпуклых функциях ... .... ... .... 294
Упражнения .. .... .... ... .... .... .... ... .... 295
Литература к главе VI .... ... .... .... .... ... .... 296
ГЛАВА VII. Применение выпуклого анализа в теории минимальных
проекторов .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 297
Введение ... .... .... ... .... .... .... ... .... 297
§ 27. О классе операторов I −f ⊗r ... .... .... ... .... 307
§ 28. (B, f)-задача. Общие положения .. .... .... ... .... 311
§ 29. (B, f)-задача для пространства B = ln
∞ .. .... ... .... 315
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 30. (B, f)-задача для пространства B = ln
§ 31. Критерий единственности минимальных проекторов в ln
7
Заключительные замечания . ... .... .... .... ... .... 336
Упражнения к главе VII ... ... .... .... .... ... .... 339
Литература к главе VII ... ... .... .... .... ... .... 340
1 .. .... ... .... 318
1 ... 328
ГЛАВА VIII. Применение выпуклого анализа в теории селекторов 346
Введение ... .... .... ... .... .... .... ... .... 346
§ 32. Непрерывные селекторы для мультифункций, полунепрерывных
снизу . .... ... .... .... .... ... .... 348
§ 33. Представление Новикова –Кастэна и его следствия .. .... 359
§ 34. Селекторы слабо полунепрерывных мультифункций . .... 365
§ 35. Измеримые селекторы . ... .... .... .... ... .... 374
§ 36. Экстремальные селекторы . .... .... .... ... .... 384
§ 37. Селекторы для мультифункций, определенных на произведении
пространств .... ... .... .... .... ... .... 396
§ 38. Непрерывные селекторы для мультифункций с невыпуклыми
значениями . .... ... .... .... .... ... .... 406
Упражнения к главе VIII .. ... .... .... .... ... .... 430
ПРИЛОЖЕНИЕ C. Теоремы о неподвижных точках для мультифункций
.. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 435
ПРИЛОЖЕНИЕ D. Интегрирование и дифференцирование мультифункций
.. ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 450
Послесловие . ... .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 475
Литература к главе VIII, приложениям C и D и послесловию . . . 483
Именной указатель .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 500
Предметный указатель ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 510
Указатель обозначений ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. 517
Стр.7