В данном учебном пособии излагается цикл лекций по теории многообразий и дифференциальныхформ на пространствахи многообразиях, читаемый студентам математическихспециальностей в курсе математического анализа и магистрантам. <...> . . . . . . . . . . 132 Предисловие Написание этого пособия продиктовано тем, что современное изложение курса математического анализа предполагает включение в заключительную его часть основ теории многообразий и дифференциальныхформ. <...> Излагая теорию криволинейныхи поверхностных интегралов, обычно придерживаются классической схемы: • интегралы первого и второго рода; • связь между ними; • связь с другими интегралами (формулыГрина,Стокса,Остроградского– Гаусса); • независимость интеграла от формы кривой или поверхности. <...> Рассматривая дифференциальные формы на многообразияхкак обобщение этой теории, в лекцияхмы придерживаемся той же схемы: • интеграл от функции по многообразию и интегрирование дифференциальныхформ на многообразиях; • связь между ними; • общая формула Стокса; • независимость интеграла по многообразию от его формы. <...> Одной из важныхвеличин, определяемых посредством дифференциальныхформ, является топологическая степень отображения. <...> В последнее время топологическая степень отображения стала довольно эффективным инструментом решения многихзадач. <...> Тензоры Пусть даны линейные пространства X1,.,Xk,Y . <...> Для простоты изпространств X1,.,Xk,то есть X1 Ч···ЧXk = {x =(x1,. ,xk) | xi ∈ Xi (i =1 : k)}. ложения всюду в дальнейшем мы рассматриваем линейные пространства над полем R действительныхчисел, акцентируя внимание на конечномерном случае. <...> Как обычно, через X1 Ч ··· Ч Xk обозначим прямое произведение Если X1 = ··· = Xk = X, то соответствующее произведение обозначается через Xk. полилинейным (или k-линейным), если оно линейно по каждой переменной, то есть для любыхдействительныхчисел a и b и любыхэлементов x Определение 1. <...> Любой линейный функционал наX есть одновалентный тензор наX. <...> Определитель <...>
Дифференциальные_формы_и_многообразия.pdf
УДК 517
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
технологии
Женсыкбаев А.А.
Дифференциальные формы и многообразия. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», 2007. — 134 с.
В данном учебном пособии излагается цикл лекций по теории многообразий
и дифференциальныхформ на пространствахи многообразиях, читаемый студентам
математическихспециальностей в курсе математического анализа и магистрантам.
Для студентов, преподавателей, научныхработников, специализирующихся
в теоретическихи прикладных областях математики и физики.
Библиогр. 14 назв.
ISBN 978-5-93972-635-1
c
А.А. Женсыкбаев, 2007
c
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007
Стр.2
Оглавление
Предисловие . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 5
§ 1. Тензоры .... .... ... .... .... .... ... .... . 7
1.1. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 8
1.2. Операции над тензорами . .... .... ... .... . 9
1.3. Аналитическое представление тензоров . . . . .... . 11
§ 2. Cимметричные и кососимметричные тензоры . ... .... . 14
2.1. Симметризация и альтернация .. .... ... .... . 17
2.2. Внешнее произведение тензоров . .... ... .... . 22
2.3. Аналитическое представление симметричныхи кососимметричныхтензоров
. .... .... ... .... . 24
§ 3. Дополнительные сведения .... .... .... ... .... . 28
3.1. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 32
§ 4. Дифференциальные формы .... .... .... ... .... . 36
4.1. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 39
4.2. Свойства внешнего дифференциала . . . . . . .... . 39
4.3. Замена переменныхв дифференциальной форме . . . . 41
4.4. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 43
§ 5. Дифференциальные формы в конечномерныхпространствах . 44
5.1. Замкнутые и точные формы ... .... ... .... . 47
5.2. Интегрирование дифференциальныхформ . . .... . 51
5.3. Замена переменных.... .... .... ... .... . 53
5.4. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 58
§ 6. Многообразия .... ... .... .... .... ... .... . 62
6.1. Многообразия в конечномерном пространстве .... . 65
6.2. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 67
6.3. Ориентация многообразия .... .... ... .... . 69
6.4. Мера многообразия в Rn . .... .... ... .... . 71
§ 7. Интегрирование функций на многообразиях.. ... .... . 79
7.1. Построение интеграла ... .... .... ... .... . 79
7.2. Вычисление интегралов . . .... .... ... .... . 80
7.3. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 81
§ 8. Дифференциальные формы на многообразиях. . . . .... . 83
Стр.3
4ОГЛАВЛЕНИЕ
8.1. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 85
§ 9. Интегрирование дифференциальныхформ на многообразиях 87
9.1. Разбиение единицы .... .... .... ... .... . 89
9.2. Свойства интегралов ... .... .... ... .... . 93
9.3. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 94
9.4. Формула Стокса . . .... .... .... ... .... . 97
9.5. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 100
§ 10. Независимость интеграла от формы многообразия . .... . 104
10.1. Независимость интеграла от формы кривой . .... . 105
10.2. Независимость интеграла от формы поверхности . . . 107
§ 11. Интегрирование по цепям .... .... .... ... .... . 109
11.1. Независимость интеграла от формы цепи ... .... . 115
§ 12. Понятие топологической степени отображения . ... .... . 117
12.1. Примеры ... ... .... .... .... ... .... . 124
Литература .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 129
Предметный указатель .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 130
Список обозначений .. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 132
Стр.4