АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ ТЮРИН СБОРНИК ИЗБРАННЫХ ТРУДОВ Том I Геометрия векторных расслоений Москва Ижевск 2005 УДК 519 Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту№05-01-14035. <...> Эти работы относятся в основном к теории векторных расслоений на алгебраических многообразияхразличной размерности,находящейся на стыке различных направлений как в самой алгебраической геометрии, так и в ее многочисленных приложениях. <...> Спектр рассматриваемых автором проблем чрезвычайно широк и многогранен—от геометрии стабильных векторных расслоений на алгебраических кривых к описанию симплектических структур и метрик на многообразиях модулей векторных расслоений на поверхностях, от метода суперпозиций в теории математических инстантонов до приложений классической исчислительной геометрии к описанию гладких структур на четырехмерных многообразиях, от теории тэта-функций и лагранжевой геометрии до построения моделей Дельцана в конформной квантовой теории поля. <...> О классификации двумерных векторных расслоений над алгебраической кривой произвольного рода . <...> Симплектические структуры на многообразиях модулей векторных расслоений на алгебраических поверхностях с pg > 0 125 Введение . <...> Пространства модулей векторных расслоений на трехмерных многообразиях, поверхностях и кривых I . <...> Векторное расслоение над алгебраической поверхностью и его сечения . <...> Метрика Вейля–Петерсона на пространстве модулей стабильных векторных расслоений и пучков над алгебраической поверхностью . <...> Пространство твисторов тонкой компоненты многообразиямодулей стабильных пучков . <...> . . 324 Комментарий к статье «Оклассификации двумерных векторных расслоений над алгебраической кривой произвольного рода» (Ф.А.Богомолов) . <...> . . . 329 Комментарий к статье «Оклассификации двумерных векторных расслоений над алгебраической кривой произвольного рода» (П. <...> Ньюстед)331 Комментарий к статье «Конечномерные <...>
Сборник_избранных_трудов_В_3-х_т.___Геометрия_векторных_расслоений_Том_1.pdf
УДК 519
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований по
проекту№05-01-14035.
РЕДАКТОР-СОСТАВИТЕЛЬ—профессор Ф.А. Богомолов
АВТОР ПРЕДИСЛОВИЯ—академик РАНИ.Р.Шафаревич
КОММЕНТАРИИ: профессор Ф.А. Богомолов,
профессор А.Л. Городенцев,
профессор П. Ньюстед,
профессор И. Пенков,
профессор А.С. Тихомиров
ПЕРЕВОД СТАТЕЙ НА РУССКИЙ ЯЗЫК—Н.А. Тюрин
ПОДГОТОВКА ИЗДАНИЯ К ПЕЧАТИ—А.Л. Городенцев, С.А. Кулешов
Тюрин А.Н.
Сборник избранных трудов: В 3-х т. Т. 1. Геометрия векторных расслоений.—М.-Ижевск:
Институт компьютерных исследований, 2005.—356 с.
Это — первый том трехтомного сборника избранных работ Андрея Николаевича
Тюрина. Настоящий том включает в себя ряд наиболее ярких работ автора по
классической алгебраической геометрии, написанных им в разное время, начиная
с середины 60-х годов. Эти работы относятся в основном к теории векторных расслоений
на алгебраических многообразияхразличной размерности,находящейся на
стыке различных направлений как в самой алгебраической геометрии, так и в ее
многочисленных приложениях. Спектр рассматриваемых автором проблем чрезвычайно
широк и многогранен—от геометрии стабильных векторных расслоений на
алгебраических кривых к описанию симплектических структур и метрик на многообразиях
модулей векторных расслоений на поверхностях, от метода суперпозиций
в теории математических инстантонов до приложений классической исчислительной
геометрии к описанию гладких структур на четырехмерных многообразиях, от
теории тэта-функций и лагранжевой геометрии до построения моделей Дельцана в
конформной квантовой теории поля.
Ф.А.Богомолов—редактор-составитель, 2005
http://ics.org.ru
А.Н.Тюрин, 2005
c
Институт компьютерных исследований, для издания на русском языке, 2005
c
ISBN 5-93972-364-0
c
Стр.2
Оглавление
1.Предисловие редактора-составителя .. .. ... .. ... .. . 9
2. Андрей Николаевич Тюрин .. ... .. .. ... .. ... .. . 11
3. Геометрия модулей векторных расслоений ... .. ... .. . 17
Предисловие .......... .......... ......... 17
Глава 1. Введение ......... .......... ......... 18
§ 1. Различные трактовки понятия «векторное расслоение» ..... 18
§ 2. Точные тройки грассманизации ......... ......... 20
§ 3. Специальные свойства расслоений на кривых . ......... 26
§ 4. Вариации расслоений ... .......... ......... 28
Глава 2. РасслоенияПуанкаре ... .......... ......... 31
§ 1. Присоединенные расслоенияПуанкаре .... ......... 31
§2. Тензоры .......... .......... ......... 34
§ 3. Проблемы и гипотезы ... .......... ......... 36
Глава 3. Элементарные операции и их вариации .... ......... 37
§ 1. Элементарные операции .. .......... ......... 37
§ 2. Вариации элементарных операций ....... ......... 42
Глава 4. Геометрия проблемы обращения ........ ......... 45
§ 1. Конструкция минимального семейства ..... ......... 45
§ 2. Второй класс Чженя .... .......... ......... 48
Глава 5. Теорема Нарасимхана–Раманана ....... ......... 50
§ 1. Двойное расслоение .... .......... ......... 50
§ 2. Теорема обращения .... .......... ......... 52
Литература ........... .......... ......... 54
4. О классификации двумерных векторных расслоений над алгебраической
кривой произвольного рода . ... .. ... .. . 56
Введение . ........... .......... ......... 56
Глава 1.Инварианты расслоений .. .......... ......... 58
§1. Высота ........... .......... ......... 58
Стр.3
4
§ 2. Исключительные подрасслоения ........ ......... 63
§ 3. Квазирасслоения ...... .......... ......... 67
Глава 2. Построение «универсальных» семейств и решение универсальной
задачи для семейств расширений ...... ......... 69
§ 1. Матричные дивизоры ... .......... ......... 69
§ 2. Приведение к нормальному виду ........ ......... 71
§ 3. Алгебраическая структура . .......... ......... 74
§ 4. Построение универсального семейства ..... ......... 79
§ 5. Решение универсальной задачи дляEC(n, k, d) ......... 82
Глава 3. Слабая независимость инвариантов ...... ......... 85
§ 1. Свойства квазирасслоений . .......... ......... 85
§ 2. Сечения матричного дивизора ......... ......... 86
§ 3. Вычисление коразмерности многообразияM(n, k, d) ...... 91
§4. Следствия ......... .......... ......... 95
Литература ........... .......... ......... 97
5. Конечномерные расслоения на бесконечных многообразиях .99
Введение . ........... .......... ......... 99
Глава 1. Бесконечные многообразия .......... ......... 100
§ 1. Линейные продолжения и бесконечные многообразия ...... 100
§ 2. Линейная связность бесконечного проективного многообразия . 105
.. ......... 110
Глава 2.Простейшие семейства расслоений над P1
§ 1. Расслоения на F1
..... .......... ......... 110
§ 2. Расслоения на линейчатых многообразиях ... ......... 114
Глава 3. Конечномерные расслоения на бесконечных проективных многообразиях
.......... .......... ......... 117
§ 1. Расслоения на P∞ ..... .......... ......... 117
6. Симплектические структуры на многообразиях модулей векторных
расслоений на алгебраических поверхностях с pg > 0 125
Введение . ........... .......... ......... 125
Глава 1. Симплектическая структура .......... ......... 128
§ 1. Большая решетка и иерархия модулей ..... ......... 128
§ 2. Решетка и структура Мукая .......... ......... 134
§ 3. Симплектическая структура и локальный инвариант ....... 140
Глава 2.Модулярные операции ... .......... ......... 145
§ 1. Специальные модулярные семейства ...... ......... 145
§ 2. Операция универсального расширения ..... ......... 151
§ 2. Расслоения на бесконечных проективных многообразиях .... 120
Литература ........... .......... ......... 124
Стр.4
5
§ 3. Операция универсального деления ....... ......... 161
Глава 3. Универсальность ..... .......... ......... 169
§ 1. Конструктивная эквивалентность ....... ......... 169
§ 2. Универсальность ...... .......... ......... 174
§ 3. Образ многообразия модулей вK0(S) ..... ......... 179
Литература ........... .......... ......... 182
7. Пространства модулей векторных расслоений на трехмерных
многообразиях, поверхностях и кривых I . ... .. ... .. . 184
Введение . ........... .......... ......... 184
§ 1. Поляризации. Теорема вложения ........ ......... 189
§ 2. Компактификация.Продолжение отображения ограничения ... 195
§ 3. Проективное пространство конформных блоков ......... 204
§ 4. Численные инварианты .. .......... ......... 214
Литература ........... .......... ......... 225
8. Классическая геометрия векторных расслоений .. ... .. . 227
Введение . ........... .......... ......... 227
§ 1. Кривые Клебша и Дарбу .. .......... ......... 229
§ 2. Векторное расслоение над алгебраической поверхностью и его
сечения ........... .......... ......... 233
§ 3. Первая интерпретация—многообразие модулей стабильных пар 236
§ 4. Некоммутативные плоскости .......... ......... 238
§ 5. Компактификация ..... .......... ......... 244
§ 6. Дифференциальная геометрия ......... ......... 248
Литература ........... .......... ......... 253
9. Метрика Вейля–Петерсона на пространстве модулей стабильных
векторных расслоений и пучков над алгебраической поверхностью
.. .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. . 255
Введение . ........... .......... ......... 255
§ 1. Гиперкелеровы метрики .. .......... ......... 258
§ 2. Стратификация пространства модулей ..... ......... 262
§ 3. Пространство твисторов компоненты пространства модулей расслоений
........... .......... ......... 269
§ 4. Пространство твисторов тонкой компоненты многообразиямодулей
стабильных пучков ... .......... ......... 276
§ 5. Заключительные замечания .......... ......... 283
Литература ........... .......... ......... 284
Стр.5
6
10.О суперпозициях математических инстантонов .. ... .. . 287
§0. Введение .......... .......... ......... 287
§1. Mn(H) как детерминантальный локус (детерминанталь) ..... 288
§ 2. Суперпозиции ....... .......... ......... 291
§ 3. Специальная суперпозиция .......... ......... 297
Литература ........... .......... ......... 302
11.МоделиДельцана пространств модулей . ... .. ... .. . 304
§1. Введение .......... .......... ......... 304
§ 2. Торическая структура на CLRep(π1(Σ)) .... ......... 307
§ 3. Комбинаторные конструкции .......... ......... 309
§ 4. Пространства классов представлений ..... ......... 311
§ 5. Перестройки полиэдров .. .......... ......... 312
§ 6. Дельцановская модель ... .......... ......... 316
§ 7. Конформные блоки ..... .......... ......... 318
Благодарности ......... .......... ......... 319
Литература ........... .......... ......... 319
Комментарии
321
Комментарий к статье «Геометрия модулей векторных расслоений»
(А.С. Тихомиров) ...... .......... ......... 323
Комментарий к статье «Геометрия модулей векторных расслоений»
(П.Ньюстед) ........ .......... ......... 324
Комментарий к статье «Оклассификации двумерных векторных расслоений
над алгебраической кривой произвольного рода» (Ф.А.Богомолов)
. ........... .......... ......... 329
Комментарий к статье «Оклассификации двумерных векторных расслоений
над алгебраической кривой произвольного рода» (П.Ньюстед)331
Комментарий к статье «Конечномерные расслоения на бесконечныхмногообразиях»
(И.Пенков) .. .......... ......... 336
Комментарий к статье «Конечномерные расслоения на бесконечныхмногообразиях»
(П.Ньюстед) . .......... ......... 338
Комментарий к статье «Симплектические структуры на многообразиях
модулей векторных расслоений на алгебраических поверхностях с
pg > 0» (А.С. Тихомиров) .. .......... ......... 340
Комментарий к статье «Симплектические структуры на многообразиях
модулей векторных расслоений на алгебраических поверхностях с
pg > 0» (П.Ньюстед) .... .......... ......... 342
Стр.6
7
Комментарий к статье «Пространства модулей векторных расслоений
на трехмерных многообразиях, поверхностях и кривых. I»
(А.С. Тихомиров) ...... .......... ......... 343
Комментарий к статье «Пространства модулей векторных расслоений на
трехмерных многообразиях, поверхностях и кривых I» (П.Ньюстед)345
Комментарий к статье «Классическая геометрия векторных расслоений»
(А.С. Тихомиров) ...... .......... ......... 347
Комментарий к статье «Классическая геометрия векторных расслоений»
(П.Ньюстед) ........ .......... ......... 349
Комментарий к статье «МетрикаВейля–Петерсона на пространстве модулей
стабильных векторных расслоений и пучков над алгебраической
поверхностью» (Ф.А.Богомолов) ..... ......... 350
Комментарий к статье «О суперпозициях математических инстантонов»
(А.C. Тихомиров) ...... .......... ......... 352
Комментарий к статье «Модели Дельцана для пространств модулей»
(А.Л.Городенцев) ...... .......... ......... 354
Стр.7