Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений Готовятся к печати: Д. <...> Введение в теорию квазиклассического квантования изотропных многообразий Н.А. КУДРЯШОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Издание второе, исправленное и дополненное Москва Ижевск 2004 УДК 517.9 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • математика • биоло гия • нефт е г а зовые т ехнологии Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №04-01-14103. <...> 13 1.1 Уравнение Кортевега – де Вриза для описания волн на воде . <...> 13 1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега – де Вриза . <...> . . . 23 1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26 1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза . <...> . . . . . . . . 39 1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера и групповой солитон . <...> . 85 6ОГЛАВЛЕНИЕ 2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля в полупроводниковом диоде . <...> . . . . . . 87 2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91 2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве . <...> 100 2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве . <...> . . . . . 111 2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве . <...> . . 141 3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Кортевега – де Вриза . <...> . 151 3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега – де Вриза153 3.8 Семейство уравнений Кортевега – де Вриза . <...> . . . 168 3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега – де Вриза методом ВТК . <...> . . . . . . . . 169 3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза 171 3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных уравнений . <...> . . 197 4.3 Частные решения уравнения Бюргерса – Кортевега – де Вриза 205 4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото – Сивашинского . <...> . . . . . . 217 4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде . <...> ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ <...>
Аналитическая_теория_нелинейных_дифференциальных_уравнений.pdf
УДК 517.9
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биоло гия
• нефт е г а зовые
т ехнологии
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
по проекту №04-01-14103.
Кудряшов Н.А.
Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. —
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 360 с.
Книга является введением в аналитическую теорию нелинейных дифференциальных
уравнений и посвящена анализу нелинейных математических моделей
и динамических систем на предмет их точного решения (интегрируемости).
Предложены выводы нелинейных математических моделей, интенсивно изучаемых
в последнее время. Представлены алгоритмы анализа особых точек решений
дифференциальных уравнений. Обсуждаются свойства точно решаемых нелинейных
уравнений. Дано обобщение аналитической теории на случай нелинейных
уравнений в частных производных. Представлены методы нахождения аналитических
решений нелинейных уравнений. Применение методов проиллюстрировано
многочисленными примерами.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников, интересующихся
нелинейными математическими моделями, теорией солитонов, методами
построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теорией
уравнений Пенлеве и их высших аналогов.
ISBN 5-93972-285-7
c
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Н.А.Кудряшов, 2004
c
Институт компьютерных исследований, 2004
Стр.4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 9
ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ... 13
1.1 Уравнение Кортевега – де Вриза для описания волн на воде . 13
1.2 Простейшие решения уравнения Кортевега – де Вриза . . . . 23
1.3 Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс 26
1.4 Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега
– де Вриза ... ... .... .... .... ... .... . 32
1.5 Фазовая и групповая скорости волн ... .... ... .... . 35
1.6 Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового
пакета .. .... ... .... .... .... ... .... . 39
1.7 Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением
Шредингера и групповой солитон .... .... ... .... . 42
1.8 Уравнение sin-Гордона для описания дислокаций в твердом
теле .. .... .... ... .... .... .... ... .... . 44
1.9 Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический
солитон . .... ... .... .... .... ... .... . 48
1.10 Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса . . . 51
1.11 Модель Хенона – Хейлеса .... .... .... ... .... . 57
1.12 Система Лоренца .. ... .... .... .... ... .... . 60
1.13 Задачи и упражнения к главе 1 . . .... .... ... .... . 68
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .. .. ... .. ... 71
2.1 Классификация особых точек функций комплексной переменной
.... .... ... .... .... .... ... .... . 71
2.2 Неподвижные и подвижные особые точки ... ... .... . 74
2.3 Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными
особыми точками .. .... .... .... ... .... . 76
2.4 Задача Ковалевской о волчке ... .... .... ... .... . 82
2.5 Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве .... . 85
Стр.5
6ОГЛАВЛЕНИЕ
2.6 Второе уравнение Пенлеве для описания электрического поля
в полупроводниковом диоде . . .... .... ... .... . 87
2.7 Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений 91
2.8 Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве . 96
2.9 Метод Пенлеве для анализа дифференциальных уравнений . 100
2.10 Трансцендентная зависимость решений первого уравнения
Пенлеве .... .... ... .... .... .... ... .... . 106
2.11 Неприводимость уравнений Пенлеве . . .... ... .... . 111
2.12 Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения
Пенлеве .... .... ... .... .... .... ... .... . 113
2.13 Рациональные и специальные решения второго уравнения
Пенлеве .... .... ... .... .... .... ... .... . 114
2.14 Дискретные уравнения Пенлеве . .... .... ... .... . 116
2.15 Асимптотические решения первого и второго уравнений
Пенлеве .... .... ... .... .... .... ... .... . 118
2.16 Линейные представления уравнений Пенлеве . ... .... . 120
2.17 Алгоритм Конта – Форди – Пикеринга для проверки уравнений
на свойство Пенлеве . .... .... .... ... .... . 122
2.18 Примеры анализа уравнений методом возмущений Пенлеве . 125
2.19 Тест Пенлеве для системы уравнений Хенона-Хейлеса . . . . 128
2.20 Точно решаемые случаи системы Лоренца ... ... .... . 131
2.21 Задачи и упражнения к главе 2 . . .... .... ... .... . 135
ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ .. ... .. ... .. .. ... .. ... 138
3.1 Интегрируемые системы . .... .... .... ... .... . 138
3.2 Преобразование Коула – Хопфа для уравнения Бюргерса . . . 141
3.3 Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Кортевега
– де Вриза .... ... .... .... .... ... .... . 144
3.4 Законы сохранения для уравнения Кортевега – де Вриза . . . 146
3.5 Отображения и преобразования Бэклунда .... ... .... . 149
3.6 Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона .... . 151
3.7 Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега – де Вриза153
3.8 Семейство уравнений Кортевега – де Вриза . . ... .... . 155
3.9 Семейство уравнений АКНС ... .... .... ... .... . 157
3.10 ТестАбловица – Рамани – Сигура для нелинейных уравнений
в частных производных . . .... .... .... ... .... . 160
3.11 Метод Вайса – Табора – Карневейля для анализа нелинейных
уравнений .. .... ... .... .... .... ... .... . 163
3.12 Пенлеве-анализ уравнения Бюргерса методом ВТК . .... . 165
Стр.6
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
3.13 Анализ уравнения Кортевега – де Вриза .... ... .... . 168
3.14 Построение пары Лакса для уравнения Кортевега – де Вриза
методом ВТК . .... ... .... .... .... ... .... . 169
3.15 Анализ модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза 171
3.16 Усеченные разложения, как отображения решений нелинейных
уравнений .... ... .... .... .... ... .... . 172
3.17 Инвариантный пенлеве-анализ .. .... .... ... .... . 174
3.18 Применение инвариантного пенлеве-анализа для нахождения
пар Лакса ... .... ... .... .... .... ... .... . 176
3.19 Соотношения между основными точно решаемыми нелинейными
уравнениями . ... .... .... .... ... .... . 179
3.20 Семейство уравнений Бюргерса . .... .... ... .... . 187
3.21 Задачи и упражнения к главе 3 . . .... .... ... .... . 189
ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ .. ... .. ... .. .. ... .. ... 193
4.1 Применение усеченных разложений для построения частных
решений неинтегрируемых уравнений . .... ... .... . 193
4.2 Точные решения уравнения Бюргерса – Хаксли ... .... . 197
4.3 Частные решения уравнения Бюргерса – Кортевега – де Вриза 205
4.4 Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото –
Сивашинского .... ... .... .... .... ... .... . 208
4.5 Кноидальные волны, описываемые уравнением Курамото –
Сивашинского .... ... .... .... .... ... .... . 215
4.6 Частные решения простейшего нелинейного волнового уравнения
пятого порядка ... .... .... .... ... .... . 217
4.7 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для
описания волн на воде .. .... .... .... ... .... . 220
4.8 Решения уравнения Кортевега – де Вриза пятого порядка в
переменных бегущей волны ... .... .... ... .... . 230
4.9 Точные решения модели Хенона – Хейлеса ... ... .... . 235
4.10 Метод нахождения рациональных решений некоторых точно
решаемых нелинейных уравнений .... .... ... .... . 237
4.11 Задачи и упражнения к главе 4 . . .... .... ... .... . 241
ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ И ИХ
СВОЙСТВА .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 244
5.1 Анализ уравнений четвертого порядка на свойство Пенлеве . 244
5.2 Уравнения четвертого порядка, прошедшие тест Пенлеве . . . 251
Стр.7
8ОГЛАВЛЕНИЕ
5.3 Трансценденты, определяемые нелинейными уравнениями
четвертого порядка . ... .... .... .... ... .... . 253
5.4 Локальные представления решений для уравнений четвертого
порядка . . .... ... .... .... .... ... .... . 258
5.5 Асимптотические свойства трансцендент
уравнений четвертого порядка . . .... .... ... .... . 264
5.6 Семейства уравнений с решениями в виде трансцендент . . . 266
5.7 Пары Лакса для уравнений четвертого порядка ... .... . 271
5.8 Обобщения уравнений Пенлеве . .... .... ... .... . 277
5.9 Преобразования Бэклунда для высших аналогов уравнений
Пенлеве .... .... ... .... .... .... ... .... . 284
5.10 Рациональные и специальные решения высших аналогов
уравнений Пенлеве . ... .... .... .... ... .... . 291
5.11 Дискретные уравнения, соответствующие высшим аналогам
уравнений Пенлеве . ... .... .... .... ... .... . 295
5.12 Задачи и упражнения к главе 5 . . .... .... ... .... . 304
ГЛАВА 6. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ВРИЗА .. ... 306
6.1 Задача Коши для уравнения Кортевега – де Вриза . . .... . 306
6.2 Прямая задача рассеяния . .... .... .... ... .... . 307
6.3 Интегральный вид стационарного уравнения Шредингера . . 313
6.4 Аналитические свойства амплитуды рассеяния . ... .... . 315
6.5 Уравнение Гельфанда – Левитана – Марченко . ... .... . 318
6.6 Интегрирование методом обратной задачи рассеяния уравнения
Кортевега – де Вриза . .... .... .... ... .... . 321
6.7 Решение уравнения Кортевега – де Вриза в случае безотражательных
потенциалов . . .... .... .... ... .... . 323
6.8 Оператор Хироты и его свойства .... .... ... .... . 326
6.9 Нахождение солитонных решений уравнения Кортевега –
де Вриза методом Хироты .... .... .... ... .... . 327
6.10 Метод Хироты для модифицированного уравнения Кортевега
– де Вриза . .... ... .... .... .... ... .... . 331
6.11 Задачи и упражнения к главе 6 . . .... .... ... .... . 333
Литература .. .. ... .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 337
Предметный указатель .. .. ... .. ... .. .. ... .. ... 357
Стр.8