МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
СТОХАСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебно-методическое пособие
Составители:
И.В. Михайлова,
Л.Н. Баркова
Воронеж
Издательский дом ВГУ
2014
Стр.1
1. Элементы комбинаторики
Центральной задачей комбинаторной теории (комбинаторики) можно
считать задачу размещения (распределения) объектов в соответствии со
специальными правилами. Если эти правила просты, то основным в этой
задаче является подсчет числа возможностей для осуществления искомого
размещения. Задачи такого типа принято называть задачами перечисления.
Если же правила распределения объектов сложны, то главной проблемой
становится вопрос существования таких распределений и нахождения методов
их осуществления.
Нас будут интересовать только перечислительные задачи. В том случае,
когда интересующих нас вариантов размещения немного, мы можем
все эти варианты перебрать. В других случаях это невозможно из-за большого
числа вариантов и тогда на помощь приходят основные правила подсчета:
принципы (правила) сложения и умножения.
Принцип суммы. Пусть множество А содержит п элементов, а множество
B – k элементов, причем AB=∅∩
. Тогда множество A B∪ содержит
п + k элементов.
Замечание 1. Если обозначить A – число элементов множества А, то
в формализованном виде правило суммы можно сформулировать следующим
образом: если ,, ,
AB A
<∞ <∞ =∅∩
B
то A BA B
∪ = + .
Замечание 2. При решении задач удобной бывает следующая формулировка:
элемент из А или элемент из В можно выбрать п+ k числом способов,
где п – количество способов выбрать элемент из А, k – элемент из В .
и B bb=
{
Принцип произведения. Пусть заданы два множества A aa=
}
{
1,..., k
ментов, т.е. A BA B×= ⋅
CA B a b a A i, 1,..., ;n b B j, 1,...,k} содержит nk эле,
если ,.<∞<∞
=× =
. Тогда декартово произведение
(
{
ij i
, : ∈ =
)
AB
Подводя итог сказанному, подчеркнем, что если выбирается или то
или другое, то нужно применять правило суммы, а если и то, и другое, то
правило произведения. Например, на тарелке лежат 5 яблок и 3 груши. Если
выбираем яблоко или грушу, то число способов 5+3=8. Если выбираем и
яблоко, и грушу, то 5 • 3 == 15.
Замечание 3. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то r
j ∈ =
1,..., n
}
действий (r ≥ 2). Если первое действие можно выполнить n1 способами, после
чего второе n2 способами, после чего и т.д. r – ое действие можно выполнить
nr способами, то все r действий можно выполнить n1 · n2 … nr способами.
Замечание 4. Если на выполнение какого-либо из действий наложены
ограничения (т.е. некоторое действие необходимо выполнить по-особому,
3
Стр.3
вершинами в этих точках? Сколько выпуклых пятиугольников, выпуклых
десятиугольников?
2. Даны три карточки с цифрами 1,2,3. Сколько чисел можно составить
из этих трех карточек?
3. Десять спортсменов разыгрывают золотую, серебряную и бронзовую
медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены
между спортсменами?
4. Сколькими способами n девушек могут образовать хоровод?
5. Сколькими способами r различных шаров можно разместить по n
различным ячейкам, предполагая, что а) в ячейке может быть более одного
шара; в) не может быть более одного шара.
6. Сколько различных подмножеств, включая само множество и пустое,
можно выделить из множества, содержащего n элементов.
7. В розыгрыше лотереи участвуют n = 3 человека. Каждому из них
присвоен порядковый номер. Участники лотереи должны вытащить одну
карточку из трех с номерами 1,2,3. Призы выдаются тем, кто вытащит карточку
со своим порядковым номером. Каково число вариантов, в которых
выигрыш только у одного участника лотереи? Сколько случаев, когда ни
один не выигрывает? Ответить на вопросы для произвольного
n = 2,3,4,...
8. Сколько пятибуквенных слов (перестановок), каждое из которых
состоит из трех согласных и двух гласных, можно образовать из букв слова
УРАВНЕНИЕ.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО ОПЫТА
Пусть G – некоторый случайный опыт, обладающий свойством устойчивости
частот, т.е.
– опыт, результаты которого не могут быть предсказаны однозначно
до проведения испытаний;
– возможны повторения испытания с первоначальным комплексом
исходных данных сколь угодно большое число раз;
– невозможно точное предсказание результата не только первого испытания,
но и каждого последующего;
– при неограниченном увеличении количества проведенных испытаний
ятностным пространством и обозначается
частота любого исхода стабилизируется, т.е. в определенном смысле близка к
некоторой постоянной, называемой в дальнейшем вероятностью исхода.
Математическая модель такого случайного опыта G называется веро<
,, .ΩΑ Ρ > Сокращенно:
G~ ,,<Ω Α Ρ >, где
Ω – множество исходов опыта G;
Α – множество случайных событий, наблюдаемых в опыте G (класс
подмножеств Ω, называемый алгеброй или
-алгеброй);
6
σ
Стр.6
P – вероятность случайных событий (вероятностная мера на измеримом
пространстве (Ω, A)). Связь вероятностной и теоретико-множественной
терминологии отражена в таблице 1.
2.1. Алгебра событий. Рассмотрим случайный опыт G, множество
набора костей домино. Приведем возможные математические модели данного
опыта.
Модель 1.
Ω= ij ij i j }.
max
{ ()
,: , 0;6,
= ≤
ΡΡ = , (),ij ∈Ω (о вероятности см. ниже).
:, 28ij
Α= Α – совокупность всех подмножеств Ω.
() 1
Модель 2.
{
Ω= ,,где
max
12}
:1,
товерное событие.
() ( )( )
ΡΡ Ω = Ρ ∅ = Ρ = Ρ = ?
Α= Α = ∅ Ω { 1} { }}, где ∅ – невозможное событие; Ω – дос12)
{
,, ,
0,
1 означает, что выбран дубль, а
2
?,
(
Рассмотрим несколько возможных результатов опыта G:
1) А- выбран дубль.
2) В – сумма очков на выбранной кости равна 6.
В первой модели А = {(0.0), (1,1), (2,2), (3,3). (4.4), (5,5), (6,6)};
В ={(0,6), (1.5), (2.4), (3,3)}.
Во второй модели А = { }1
событием, так как при появлении любого из исходов
– элементарное событие, В – не является
1 или
2 мы не можем
сказать, осуществлялся или нет результат В.
Вернемся к наиболее содержательной первой модели. Так как события
в модели являются подмножествами, то к ним можно применять все
теоретико-множественные операции. Например,
В \ А = {(0,6). (1,5), (2,4)}, AB 3, })3
∩ ={ (
, A B =∪
{(0,0), (1,1), (2,2),
(3,3), (4.4), (5,5), (6,6), (0,6), (1.5), (2,4)}, A =Ω\ A – не дубль.
Задачи для самостоятельного решения
1. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими
окружностями с радиусами r1 < r2 … < r10. Событие Ak – попадание в
круг радиуса rk при одном выстреле по мишени. Описать множество исхо6
дов
данного опыта. Что означают события B =∪ ,Ak
= ∪ ()56)
k=1
DA A
(
A A∩ .
56
7
10
CA
=
k 1
=∩ , 12
k
E AA= ∩ ,
2 – не дубль.
исходов которого Ω конечно. В такой модели событием назовем любое
подмножество Ω.
Пример. Случайный опыт G – выбор наудачу одной кости из полного
ω
ω
ω
ω ωω ω
ωω
ω
ω
Стр.7
чает, что цепь безотказно работает в течение контрольного промежутка
времени, а события Ai – то же для i-го элемента,
А. Выразить событие А и A через события ,1,
in
i
A in. для цепей с па=
раллельным
и последовательным соединением элементов.
В. Выразить через Ai следующие события: В – отказали все элементы,
С – отказал хотя бы один элемент, D – безотказно работал один и только
один из элементов, Е – отказали только два элемента..
3. Случайный опыт – испытание трех приборов. События: А – хотя бы
один из трех проверяемых приборов бракованный; В – все приборы доброкачественные.
Что означают события a) A B∪ ; b)
A ;B∩ c) A ;B d) B .A .
4. Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Описать
возможные для данного опыта множества исходов. В каждой из предложенных
моделей указать события: А – число очков, выпавших на верхней
грани игральной кости, кратно трем; В – на верхней грани выпало нечетное
число очков: С – число очков больше трех; D – число очков меньше семи;
Е – число очков 0,5; F – число очков от 0,5 до 1,5. Установить пары совместных
событий. Описать события ,,B C A ,B∩ A ,B E D∪ , E .F∩
5. Пусть А и В – произвольные события, наблюдаемые в опыте G.
Проверить следующие равенства
a)() ()A BA B∪∩∪ = A;
b)() (∪∩ ∪∩ ∩ ∩ B
A BA BA B = A
) () .
6. Пусть число исходов равно n <∞ Указать минимальное и макси.
мальное
возможные значения для числа всех случайных событий.
7. Может ли быть : a) число исходов конечно, а число всех случайных
событий бесконечно; b) число всех случайных событий конечно, а число
исходов бесконечно; c) число исходов больше, чем число всех событий?
В последующих пунктах мы рассмотрим примеры вероятностных
Α Ρ >, объединенных интуитивным понятием равновозпространств
<Ω ,,
можности результатов опыта.
2.2. Классическая схема (модель). Рассмотрим опыт G, число возможных
исходов которого конечно Ω <∞ и все исходы равновозможны,
т.е. непредпочтительны друг перед другом или имеют одинаковые шансы к
появлению. Тогда
() AA
Ρ= Ω, .
A⊂Ω
выбранная наудачу кость окажется дублем, равна () 71,
28 4
== =
Ω
8
Обратимся к примеру п.2.1. В первой модели вероятность того, что
Ρ A A
2. Электрическая цепь состоит из n элементов. Пусть событие А озна=
1, .
Стр.8