Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB: курс лекций (500,00 руб.)

Стр.2

Стр.494

Стр.495

Стр.496

УДК 519.6:004.9 (075.8) ББК 32.973.26-018я73 П39 Рецензен т ы : чл.-корр. РАН, доктор физ.-мат. наук Н. Н. Калиткин; доктор физ.-мат. наук, профессор В. Ф. Бутузов Плохотников К. Э. П39 Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB: курс лекций. Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр.– М.: Горячая линия – Телеком, 2013. – 496 с.: ил. ISBN 978-5-9912-0354-8. Изложены основные теоретические положения вычислительных методов, особое внимание уделено развитию у студентов практических навыков программирования классических вычислительных алгоритмов. В качестве среды программирования выбран пакет MATLAB, отличающийся простым в употреблении языком программирования и огромной библиотекой уже имеющихся программ для разного рода расчетов. В курсе из 15 лекций приводятся и разбираются 124 учебные программы MATLAB, на базе которых разработаны 2 контрольные работы, содержащие 180 задач. Для удобства читателей учебные программы, рассмотренные в книге, доступны на сайте издательства. Книга подготовлена на основе курса лекций «Вычислительные методы», прочитанного автором на физическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Для студентов вузов, будет полезна инженерам и преподавателям. ББК 32.973.26-018я73 Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU Учебное издание Плохотников Константин Эдуардович Вычислительные методы Теория и практика в среде MATLAB: курс лекций Учебное пособие для вузов 2-е издание, исправленное Редактор С. В. Васильев Компьютерная верстка И. М. Чумаковой Обложка художника В. Г. Ситникова Подписано в печать 15.07.2013. Формат 60×88/16. Уч. изд. л. 31. Тираж 500 экз. (1-й завод 100 экз.) ISBN 978-5-9912-0354-8 © К. Э. Плохотников, 2013 © Издательство «Горячая линия–Телеком», 2013

Стр.2

Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................................................................. 3 Лекция 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ................................................................ 5 Методологическое введение ............................................................................. 5 Примеры математических моделей.................................................................. 7 Лекция 2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ............................................... 22 Полиномиальный метод интерполяции ......................................................... 22 Интерполяционный многочлен Лагранжа ..................................................... 26 Сплайны............................................................................................................ 28 Среднеквадратичное приближение ................................................................ 31 Метод наименьших квадратов ........................................................................ 34 Многомерная интерполяция............................................................................ 37 Лекция 3. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ................................ 42 Интерполяционный полином Ньютона.......................................................... 42 Простейшие формулы численного дифференцирования ............................. 44 Метод Рунге–Ромберга.................................................................................... 51 Лекция 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.......................................... 57 Полиномиальная аппроксимация ................................................................... 57 Формула трапеций ........................................................................................... 57 Формула Симпсона .......................................................................................... 61 Формула средних ............................................................................................. 64 Формула Эйлера............................................................................................... 67 Процесс Эйткена .............................................................................................. 69 Формулы Гаусса–Кристоффеля...................................................................... 72 Стандартные функции интегрирования в среде MATLAB.......................... 77 Лекция 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ............................................................ 81 Линейные системы уравнений........................................................................ 81 Метод исключения Гаусса............................................................................... 82 Работа с разреженными матрицами................................................................ 89 Уравнение с одним неизвестным.................................................................... 92 Стандартные функции поиска корней в MATLAB..................................... 103 Лекция 6. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ................................................... 108 Постановка проблемы собственных значений ............................................ 108 Устойчивость.................................................................................................. 112 Построение характеристического многочлена матрицы............................ 116 Трехдиагональные матрицы.......................................................................... 121 Метод обратных итераций для поиска собственных векторов .................. 125 Метод отражения............................................................................................ 129 Проблема собственных значений в среде MATLAB .................................. 136

Стр.494

Оглавление 495 Лекция 7. ПОИСК МИНИМУМА................................................................ 139 Постановка задачи.......................................................................................... 139 Золотое сечение.............................................................................................. 140 Метод парабол................................................................................................ 145 Минимум функции многих переменных...................................................... 149 Спуск по координатам ................................................................................... 152 Наискорейший спуск ..................................................................................... 157 Метод сопряженных градиентов .................................................................. 164 Лекция 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ................................................... 168 Постановка задачи Коши............................................................................... 168 Метод Пикара ................................................................................................. 171 Метод малого параметра ............................................................................... 173 Метод ломаных............................................................................................... 175 Метод Рунге–Кутта........................................................................................ 179 Метод Адамса................................................................................................. 187 Решатели дифференциальных уравнений в MATLAB............................... 191 Постановка краевой задачи ........................................................................... 195 Метод стрельбы.............................................................................................. 196 Краевая задача. Разностный метод............................................................... 200 Краевая задача в среде MATLAB................................................................. 203 Контрольная работа № 1 ПО МАТЕРИАЛАМ ЛЕКЦИЙ 1–8 ................ 205 Лекция 9. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ...................... 216 Введение ......................................................................................................... 216 Точные методы решения ............................................................................... 218 Автомодельные решения............................................................................... 221 Разностный метод........................................................................................... 225 Невязка............................................................................................................ 228 Методы составления разностных схем ........................................................ 230 Аппроксимация .............................................................................................. 236 Устойчивость.................................................................................................. 237 Метод разделения переменных..................................................................... 243 Операторные неравенства ............................................................................. 244 Сходимость..................................................................................................... 246 Лекция 10. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА....................................................... 248 Линейное уравнение переноса ...................................................................... 248 Геометрическая интерпретация устойчивости............................................ 258 Квазилинейное уравнение ............................................................................. 271 Лекция 11. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ...................................... 286 Одномерные уравнения ................................................................................. 286 Многомерное уравнение................................................................................ 303

Стр.495

496 Плохотников К. Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB Лекция 12. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ........................................ 317 Счет на установление..................................................................................... 317 Прямые методы решения............................................................................... 338 Итерационные методы................................................................................... 345 Лекция 13. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ....................................................... 354 Схема “крест” ................................................................................................. 354 Неявная схема................................................................................................. 359 Двухслойная акустическая схема ................................................................. 367 Многомерные схемы...................................................................................... 377 Лекция 14. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ........................................... 389 Корректно поставленные задачи................................................................... 389 Некорректные задачи..................................................................................... 407 Лекция 15. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)............................................................................ 433 Случайные величины..................................................................................... 433 Разыгрывание случайной величины............................................................. 434 Интерполяция ................................................................................................. 442 Решение линейных алгебраических систем методом Монте-Карло ........ 446 Вычисление интегралов................................................................................. 449 Решение краевых задач.................................................................................. 463 Контрольная работа № 2 ПО МАТЕРИАЛАМ ЛЕКЦИЙ 9–15 .............. 469 ОТВЕТЫ............................................................................................................ 486 К контрольной работе № 1 ............................................................................ 486 К контрольной работе № 2 ............................................................................ 489 ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................. 492

Стр.496