ISBN 978-5-7996-1216-0 В данной работе разбирается решение типовых примеров и задач по следующим темам курса «Функции комплексного переменного»: функции комплексного переменного, их дифференцирование, интегрирование, разложение в ряды Тейлора и Лорана, вычеты и их применения, операционное исчисление. <...> КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Кратко напомним понятие комплексных чисел и действия с ними. <...> Комплексное число z x iy изображают точкой М плоскости с координатами x , y или ее радиус-вектором OM (рис. <...> Длину вектора OM называют числа z и обозначают z r OM модулем комплексного z или r : 2 x y . <...> 2 ем оси ох называют аргументом комплексного числа z . <...> Угол φ определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 0, 1, 2,. то значение φ , которое заключено между π и π, обозначают arg z и называют главным значением аргумента. <...> Так как cosφ, Введя функцию φ cosφ sinφ eii в показательной форме: z re плексного числа i φ можно записать в тригонометрической форме: zr cosφ sinφi , комплексное число можно записать . <...> Итак, имеем три формы записи комxr y r sinφ (рис. <...> Записать комплексные числа 12z 1 3, 1iz i гонометрической и показательной формах. <...> Угол φ между радиус-вектором OM и положительным направлени2πk k ; y 0 x Рис. <...> При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической Умножение двух комплексных чисел в алгебраической форме 1 и показательной формах их модули умножаются, а аргументы складываются: z z 1 2 , arg(z z ) arg arg 2z . <...> При делении двух комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах их модули делятся, а аргументы вычитаются: 1 z z2 1, z , arg arg arg z z z12. форме осуществляется по правилам возведения в степень двучлена с учетом того, что 2 i 32 , i i i i z r n i n r e n n (cos φ sin φ) i i но использовать его тригонометрическую или показательную формы: φ n in <...>
Функции_комплексного_переменного_в_примерах_и_задачах.pdf
УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
М62
Рецензенты:
кафедра прикладной математики (протокол № 2 от 22. 10. 13 г.),
(канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. Б. Мельников, зав. каф. прикладной
математики Уральского государственного экономического университета);
канд.
физ.-мат. наук М. Ф. Прохорова, старший научный сотрудник
Института математики и механики УрО РАН
Научный редактор − канд. физ.-мат. наук, доц. Н. В. Чуксина
Минькова, Р. М.
М62 Функции комплексного переменного в примерах и задачах :
учебно-методическое пособие / Р. М. Минькова. – Екатеринбург :
Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 56 с.
ISBN 978-5-7996-1216-0
В данной работе разбирается решение типовых примеров и задач по следующим
темам курса «Функции комплексного переменного»: функции комплексного
переменного, их дифференцирование, интегрирование, разложение
в ряды Тейлора и Лорана, вычеты и их применения, операционное исчисление.
Издание предназначено для студентов физико-технологического института.
Библиогр.: 10 назв. Рис. 25.
УДК 517 (075.8)
ББК 22.161я73
ISBN 978-5-7996-1216-0
© Уральский федеральный
университет, 2014
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Комплексные числа ................................................................................ 3
1.1. Определение, изображение, формы записи
комплексного числа ............................................................................... 3
1.2. Действия с комплексными числами .............................................. 4
2. Элементарные функции комплексного переменного ........................ 8
3. Дифференцируемые и аналитические функции ............................... 12
4. Интегрирование функции комплексного переменного ................... 15
5. Ряды в комплексной области .............................................................. 20
5.1. Числовые ряды .............................................................................. 20
5.2. Степенные ряды ............................................................................ 22
6. Вычеты функции и их применения .................................................... 28
6.1. Нули функции ................................................................................ 28
6.2. Особые точки функции ................................................................. 30
6.3. Вычеты функции в ее особых точках ......................................... 32
6.4. Применение вычетов к вычислению интегралов ...................... 35
7. Элементы операционного исчисления ............................................... 41
7.1. Оригинал и его изображение ....................................................... 41
7.2. Применение операционного исчисления ................................... 45
Примеры для самостоятельного решения ............................................. 53
Библиографический список .................................................................... 54
55
Стр.56