М. А. ПЛЕСКУНОВ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. <...> Плескунов ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата/специалитета по направлениям подготовки 140200 – Электроэнергетика и 231300 – Прикладная математика Екатеринбург Издательство Уральского университета 2014 УДК 517.44(075.8) ББК 22.161я73 П38 Рецензенты: кафедра «Высшая и прикладная математика» УрГУПС (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. <...> При выполнении некоторых условий, накладываемых на функцию f t , такое соответствие является взаимно однозначным, то есть каждой функции t f F p соответствует единственная функция t . f f , удовлетворяющей таким условиям, соответствует единственная функция pF , и наоборот, каждой функции При этом оказывается, что операциям дифференцирования и интегрирования функций t соответствуют операции умножения и деления функций pF на переменную p . <...> Затем, по найденным решениям pF f ходной системы дифференциальных уравнений. <...> ) Замечание 1 Рассматривая функции, определенные и при отрицательных значениях t (и отличные от тождественного нуля при этих значениях), в качестве оригиналов, мы будем предполагать, что условие (1) всегда выполнено, то есть, говоря, что функция f f t лом, мы будем иметь в виду функцию t sin является оригинаt t sin , 0, t t 0 0 , не оговаривая в дальнейшем этого специально (в целях упрощения записи оригиналов). <...> Следовательно, в этом случае (для функций вида kt f k 0) показатель роста s 0 Определение изображения Функция гиналом t f равенством F p f 0 pt t e f dt , называется изображением оригинала t . <...> Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, носит название интеграла Лапласа для функции t . <...> Преобразование, ставящее <...>
Операционное_исчисление.pdf
УДК 517.44(075.8)
ББК 22.161я73
П38
Рецензенты:
кафедра «Высшая и прикладная математика» УрГУПС (зав. кафедрой
д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева);
д-р физ.-мат. наук, проф. В. В. Кабанов (ИММ УрО РАН)
Научный редактор – д-р физ.-мат. наук, проф. А. И. Короткий
Плескунов, М. А.
П38 Операционное исчисление : учебное пособие / М. А. Плескунов.
– Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 143, [1] с.
ISBN 978-5-7996-1161-3
Пособие предназначено для студентов, изучающих курс высшей математики.
Содержит теоретический материал и примеры решения задач по
операционному исчислению – разделу высшей математики, входящему в
обязательный стандарт образования студентов радиотехнических, электротехнических
и теплоэнергетических специальностей. Также включены
контрольные вопросы к курсу и список рекомендуемой литературы.
Библиогр.: 15 назв. Рис. 16. Прил. 4.
УДК 517.44(075.8)
ББК 22.161я73
ISBN 978-5-7996-1161-3
© Уральский федеральный
университет, 2014
2
Стр.3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ......................................................................... 3
Метод операционного исчисления .......................................................... 3
Схема применения операционного исчисления ..................................... 4
Оригинал и его изображение ................................................................... 4
СВОЙСТВА ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ .............................. 10
Свойства оригиналов .............................................................................. 10
Свойства изображений ........................................................................... 11
ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ ...................................... 21
Таблица изображений ............................................................................. 29
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПО КАРСОНУ – ХЕВИСАЙДУ .............................. 32
ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЮ ................. 33
Метод разложения на простейшие дроби ............................................. 33
Формула обращения Меллина ............................................................... 37
Первая теорема разложения ................................................................... 38
Вторая теорема разложения ................................................................... 38
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОПЕРАЦИОННЫМ
МЕТОДОМ .............................................................................................. 40
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ .......................................................................... 50
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ИЗОБРАЖЕНИЙ .............. 53
Свертка функций ..................................................................................... 53
Теорема умножения (теорема Бореля) .................................................. 55
Формула Дюамеля .................................................................................. 61
140
Стр.141
Теорема запаздывания ............................................................................ 66
Дельта-функция и ее изображение ........................................................ 71
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ ........................................................................................ 84
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ............................ 90
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО
ВИДА ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ .................................................. 94
ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ И КЕЛЬВИНА ................... 99
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ....................... 105
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ .............................................................. 113
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................. 115
Приложение 1. СХЕМА ГОРНЕРА ..................................................... 117
Приложение 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ..................................................................................... 121
Приложение 3. НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ОРИГИНАЛЫ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЯ .............................................. 122
Приложение 4. БИОГРАФИЧЕСКИЕ СПРАВКИ ............................. 124
141
Стр.142