Физический смысл потока через замкнутую поверхность . <...> Скалярное поле ной области G связана скалярная величина, то говорят, что в области G задано скалярное поле: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. <...> Поверхности и линии уровня u f x y z В дальнейшем, если не оговорено особо, предполагаем функцию (, , ) Рассмотрим точки области, в которой функция u f x y z постоянные значения: (, , ) однозначной и непрерывно-дифференцируемой. f xy z c (c const) . <...> Геометрические места точек (, , ) принимает одно и то же значение (, , ) уровня или эквипотенциальными поверхностями. uf (, , ) 5 P xy z , где скалярное поле f xy z c , называются поверхностями В ранее рассмотренном примере поля точечного заряда поверхности уровня – концентрические сферы различного радиуса. <...> Градиент скалярного поля Пусть задано скалярное поле (, , )ux y z . <...> P x y z называется вектор, обозначаемый символом grad u и определяемый равенством grad uu u Введем символический вектор “набла”, или оператор Гамильтона ;; . щенной и удобной для расчётов форме. <...> Более детально использование вектора-оператора “набла” для записи и выполнения различных дифференциальных операций будет обсуждаться ниже. <...> Если торов l 0 по направлению вектора l grad u , то cos где φ – угол между единичным вектором 0 l в точке (, , ) дани вектором градиента grad u , т. е. производная P x y z равна проекции градиента на дан, за исключением вектора l u 0l . <...> Векторные линии ски, указав положение вектора a точках. точке которой вектор a P Векторное поле можно изобразить графичев некоторых ОПРЕДЕЛЕНИЕ. <...> Проведём через границу этой площадки векторные линии. <...> Образуемая при этом фигура называется векторной трубкой (при этом векторные линии, проходящие через , целиком лежат внутри векторной трубки). <...> Совокупность точек поверхности с определенным направление м называется стороной поверхности. ассическим примером однос нормали n Кла ности является лист Мебиуса. <...> Выберем в каждом участке S i точку P. i <...>
Математика._Часть_8._Теория_поля..pdf
УДК 511.236(075.8)
ББК 22.132я73
М34
Авторы: О. А. Кеда, Л. П. Мохрачева, Е. М. Пампура, А. Ф. Рыбалко
Н. М. Рыбалко
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета
(зав. каф. физики д-р физ.-мат. наук, проф. М. П. Кащенко);
д-р физ-мат. наук, проф. А. П. Танкеев, зав. лабораторией кинетических явлений
ИФМ УрО РАН
Научный редактор – доц., канд. физ.-мат. наук Л. П. Мохрачева
М34
Математика : учебное пособие. Часть 8: Теория поля / О. А. Кеда,
Л. П. Мохрачева, Е. М. Пампура, А. Ф. Рыбалко, Н. М. Рыбалко. Екатеринбург:
Изд-во Урал. ун-та, 2014. – 112 с.
ISBN 978-5-7996-1159-0
Данное пособие представляет собой восьмую часть курса высшей математики
и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные
количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.
В пособии излагаются основные положения теории поля (векторного анализа) и ее
приложений, в которых изучаются скалярные и векторные поля. Пособие включает
также примеры решения задач, текст домашних заданий, пример оформления и задания
индивидуальных расчетных работ, образец контрольной работы и справочный материал
по теме.
Библиогр.: 5 назв.
Подготовлено кафедрой высшей математики.
УДК 517.37(075.8)
ББК 22.161.1я73
ISBN 978-5-7996-1159-0
© Уральский федеральный
университет, 2014
Стр.5
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА) ................................................................................. 5
1.1. Скалярное поле ................................................................................................. 5
1.2. Поверхности и линии уровня .......................................................................... 5
1.3. Производная по направлению ......................................................................... 6
1.4. Градиент скалярного поля ............................................................................... 7
1.4.1. Связь производной по направлению с градиентом ........................... 8
1.4.2. Свойства градиента ............................................................................ 8
1.5. Векторное поле ............................................................................................... 10
1.5.1. Векторные линии ................................................................................ 11
1.5.2. Плоское векторное поле .................................................................... 12
2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .................................................................... 12
2.1. Односторонние и двусторонние поверхности ............................................ 12
2.2. Площадь поверхности .................................................................................... 13
2.3. Система координат и ориентация поверхности .......................................... 15
2.4. Поверхностный интеграл 1-го рода .............................................................. 15
2.4.1. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода ......................... 16
2.5. Поверхностный интеграл 2-го рода .............................................................. 17
3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ............................................................................ 18
3.1. Определение потока векторного поля .......................................................... 18
3.2. Свойства потока ............................................................................................. 19
3.3. Вычисление потока ........................................................................................ 19
3.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость ...................... 20
3.3.2. Проектирование на три координатные плоскости ....................... 20
3.4. Физический смысл потока ............................................................................. 22
3.5. Дивергенция векторного поля ...................................................................... 24
3.5.1. Свойства дивергенции ....................................................................... 24
3.6. Физический смысл потока через замкнутую поверхность ........................ 25
3.7. Теорема Остроградского–Гаусса .................................................................. 25
3.8. Инвариантное определение дивергенции .................................................... 29
3.8.1. Физический смысл дивергенции ........................................................ 29
3
Стр.6
4. ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ ........................................... 30
4.1. Понятие линейного интеграла ...................................................................... 30
4.2. Свойства линейного интеграла ..................................................................... 30
4.3. Вычисление линейного интеграла ................................................................ 31
4.4. Физический смысл линейного интеграла .................................................... 32
4.5. Ротор (вихрь) векторного поля ..................................................................... 32
4.6. Свойства ротора (вихря) ................................................................................ 33
4.7. Теорема Стокса ............................................................................................... 33
4.8. Инвариантное определение ротора .............................................................. 36
4.9. Физический смысл ротора ............................................................................. 37
4.10. Формула Грина ............................................................................................. 37
5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ............................................. 39
5.1. Потенциальное векторное поле .................................................................... 39
5.1.1. Условия потенциальности поля ........................................................ 39
5.1.2. Вычисление потенциала поля ............................................................ 42
5.2. Соленоидальное поле ..................................................................................... 42
5.2.1. Свойства соленоидального поля ....................................................... 43
5.3. Операторы Гамильтона и Лапласа ............................................................... 44
5.3.1. Оператор Гамильтона (набла) ......................................................... 44
5.3.2. Оператор Лапласа ............................................................................. 45
6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ .............................................................................. 47
7. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ ..................................................................................... 71
8. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ........................................................................................ 75
9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ .......................................................... 101
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................... 107
4
Стр.7