Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Теория и практика конформных отображений Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. <...> Н. Э. Баумана, 2013 c ПРЕДИСЛОВИЕ Данное пособие рассчитано прежде всего на студентов специальности <Прикладная математика>, однако будет полезно всем, кто интересуется теорией конформных отображений и ее многочисленными приложениями. <...> Пособие охватывает следующий круг вопросов: основы теории конформныхотображений, основные элементарные функции комплексного переменного, типовые области их конформности и осуществляемые этими функциями конформные отображения, методы построения конформных отображений заданных областей комплексной плоскости. <...> Теория конформных отображений имеет множество приложений, ее методыиспользуют врешениисамыхразных задач, позволяя переносить эти задачи из областей, в которых они естественно возникают, в более простые области, где их анализ и решение заметно облегчается. <...> Теория конформных отображений | это динамично развивающаяся область комплексного анализа. <...> Предполагается, что на контуре, входящем в границу простой области, направление выбрано так, что при обходе этого контура область остается слева (такое направление обхода называют положительным). <...> Зафиксируем обозначения ряда стандартных областей в комплексной плоскости: D|единичный круг {z ∈ C: |z| < 1}; De|внешность единичного круга {z ∈ C: |z| > 1}; T|единичная окружность {z ∈ C: |z| = 1}. <...> Часто верхнюю полуплоскость C+ обозначают также символом H. <...> В геометрических вопросах теории функций комплексного переменного, в том числе и в теории конформных отображений, часто используют понятие расширенной комплексной плоскости C, под которым понимают множество C = C ∪ {∞} с соответствующим уточнением понятия окрестности точки, а именно: -окрестностью точки ∞ называют множества {z: |z| > R}, где R = 1/2 −1 (см., например, [X, разд. <...> Геометрическая интерпретация функций комплексного <...>
Теория_и_практика_конформных_отображений.pdf
УДК 517.5
ББК 22.1
Ò33
Рецензенты:
Ñ. Ï. Суетин (ÌÈÀÍ èì. Â. À. Ñòåêëîâà)
À. Â. Копаев (ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà)
Теория и практика конформных отображений : учеб. поТ33
собие / À. Í. Канатников, Å. Å. Красновский, Â. Ä. Ìîðîçîâà,
Ê.Þ. Федоровский. { Ì. : Èçä-âî МГТУ èì. Í.Ý. Áàóìàíà,
2013. { 84, [4] ñ. : èë.
ISBN 978-5-7038-3791-7
Содержит основы теории конформных отображений и охватывает
материал, достаточный для освоения соответствующего раздела курса
<Комплексный анализ>, который читается студентам факультета ФН
на четвертом семестре обучения, и решения задач.
Предназначено для студентов второго курса, обучающихся по
специальности <Прикладная математика>.
УДК 517.5
ББК 22.1
ISBN 978-5-7038-3791-7
-ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, 2013
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Понятие о конформных отображениях . . . . . . . . . . 5
1.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Геометрическая интерпретация функций комплексного
переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Однолистные функции и отображения . . . . . . . . 11
1.4. Конформные отображения и их свойства . . . . . . . 15
1.5. Основные задачи теории конформных отображений . 20
2. Элементарныефункции комплексного переменного и их
области однолистности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Дробно-линейная функция . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Целая степенная функция . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. ФункцияЖуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5. Обратные функции и их однозначные ветви . . . . . 43
3. Методы построения конформных отображений заданных
областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Последовательности отображений . . . . . . . . . . . 51
3.2. Применение принципа симметрии . . . . . . . . . . . 56
4. Элементы теории конформных отображений . . . . . . 62
4.1. Основные свойства дробно-линейных отображений . 62
4.2. Обратный принцип соответствия границ . . . . . . . 74
4.3. Принцип симметрии Римана|Шварца . . . . . . . 77
4.4. Конформные автоморфизмы основных областей . . . 79
Типовые варианты домашних заданий . . . . . . . . . . . . 84
Стр.86