Щетинин, Е.А. Губарева ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. <...> Рассмотрены векторные и конвекторные поля, тензорные поля, производная Ли, ковариантное дифференцирование, связность ЛевиЧивита, тензоры кручения и кривизны. <...> Приведено домашнее задание, включающее 24 варианта типовых расчетных заданий. <...> Используя понятие касательного пространства Tx(Rn) в точке x, можно ввести тензоры в таких пространствах. <...> Задать тензорное поле — это значит выбрать в каждом из касательных пространств Tx(Rn) тензор одного и того же типа. <...> Координаты тензора должны изменяться при переходе к другой точке дифференцируемым образом. <...> Дифференцировать тензорные поля можно также с помощью линейной связности. <...> Если в пространстве Rn задана метрика, то существует единственная линейная связность без кручения, согласованная с этой метрикой. <...> Говоря о ковариантной производной, имеют в виду обычно эту линейную связность — связность ЛевиЧивита. <...> По метрике однозначно определяется линейная связность (символы Кристоффеля), что позволяет дифференцировать тензорные поля на таких поверхностях. <...> Если задать параметризацию поверхности, все сводится к случаю обычного двумерного пространства R2, в котором фиксирована криволинейная система координат. <...> Основная цель пособия — научить студента двум алгебраическим процедурам: правилу суммирования Эйнштейна и правилу дифференцирования тензоров. <...> ВЕКТОРНЫЕ И КОВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ точке x наделяется естественной структурой векторного пространства, называемого касательным пространством в точке x. <...> При этом каждому вектору v, выходящему из начала координат, отве(x1, x2, x3). <...> Числа x1, x2, x3 суть координаты вектора в декартовой ортогональной системе координат, и никакие другие системы координат пока не вводим. <...> Многие структуры, имеющиеся в пространстве R3, без труда переносятся в пространствo Tx(R3): скалярное произведение, ориентация и т. д. <...> Пусть e1, e2, e3 — стандартный базис <...>
Введение_в_тензорный_анализ.pdf
УДК 512.97(075.8)
ББК 22.151.5
Щ70
Рецензенты: А.М. Лукацкий, Н.Г. Хорькова
Щ70
Щетинин А. Н.
Введение в тензорный анализ : учеб. пособие / А.Н. Щетинин,
Е.А. Губарева. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2012. — 35, [5] с. : ил.
Рассмотрены векторные и конвекторные поля, тензорные поля,
производная Ли, ковариантное дифференцирование, связность ЛевиЧивита,
тензоры кручения и кривизны. Дано строгое изложение
аппарата римановой геометрии. Приведено домашнее задание,
включающее 24 варианта типовых расчетных заданий.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Дифференциальная
геометрия и тензорный анализ».
УДК 512.97(075.8)
ББК 22.151.5
-МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. ВЕКТОРНЫЕ И КОВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Определение тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Операции над тензорными полями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Тензоры в пространствах с метрикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Действие отображений на тензорные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. ПРОИЗВОДНАЯ ЛИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1. Фазовый поток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Производная Ли тензорного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1. Ковариантная производная векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Ковариантная производная тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. СВЯЗНОСТЬ ЛЕВИ-ЧИВИТА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Стр.38