4); «Элементарное исследование функций одной переменной и построение их графиков» (гл. <...> В первом семестре вы изучаете предел последовательности и предел функции одной переменной; выполняете контрольную работу и проходите аттестацию. <...> При этом пределы применяются для вывода уравнения наклонной асимптоты, при исследовании функций на непрерывность и исследовании поведения функций вблизи границ области определения. <...> В третьем семестре пределы функций многих переменных используются для введения понятий частных производных, производных по направлению, кратных и поверхностных интегралов, криволинейных интегралов, при выводе формул для вычисления объ¨ eнного интеграла и выводе формул eма тела (вычисляемого по площадям параллельeмов тел, площадей поверхностей, длин дуг, физических величин (например, массы тела). <...> Другими словами, график функции y =f(x) есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют равенству y =f(x). <...> Обратные и сложные функции Если уравнение y = f(x) может быть однозначно решено относительно переменной x, то есть существует такая функция x=g(y),что y =f[g(y)], то функция x=g(y) называется обратной по отношению к функции y =f(x). <...> Область определения сложной функции 11 суперпозиции (наложения) функций f(x) и ϕ(y). <...> Эта запись не определяет сложной функции, так как {sinx} Y есть пустое множество (рис. <...> Следовательно, обратная функция бесконечнозначная: y = Arcsinx — множество дуг, синус которых равен x,−1x1. <...> Однако если функцию y =sinx рассмотреть на отрезке − растает и принимает все значения−1y 1, то обратная функция является однозначной и называется главным значением арксинуса: π 2 ; π 2 y = arcsinx, y ∈ − где k — целые числа. <...> График функции y =arcsinx называется главной ветвью графика многозначной функции y =Arcsinx (рис. <...> График функции y =Arctg x, y =arctg x Рис. <...> Привед¨ Главные значения обратных тригонометрических функций моeм ещ¨ e некоторые формулы: arctg x+arcctg x= π 2 . arcsinx+arccosx <...>
Как_вычислять_пределы.pdf
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161
С81
Рецензенты: Л.А. Панченко, В.В. Феоктистов
С81
Cтолярова З.Ф.
Как вычислять пределы : учеб. пособие по курсу «Математический
анализ» / под ред. А.Г. Станевского. — М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 181, [3] с. : ил. — (Сер. метод.
обеспечения учеб. процесса студентов с ограниченными
возможностями здоровья).
ISBN 978-5-7038-3694-1
В учебном пособии приведены теоретические сведения из введения
в математический анализ, даны решения задач, предложены задачи
для самостоятельного решения.
Для студентов 1-го курса, в первую очередь для студентов ГУИМЦ.
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161
ISBN 978-5-7038-3694-1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013
c
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................... 3
Введение ........................................................ 4
Глава 1. Функции одной переменной. Основные определения и простейшие
свойства ................................................ 6
§ 1. Понятие функции ......................................... 6
§ 2. Обратные и сложные функции ............................ 10
§ 3. Элементарные функции ................................... 14
Задачи к главе 1.................................................. 22
Глава 2. Пределы ................................................ 24
§ 1. Предел числовой последовательности . . . . . . . .............. 24
§ 2. Предел функции .......................................... 30
§ 3. Теоремы о пределах....................................... 37
§ 4. Раскрытие неопредел¨
eнностей элементарным способом.... 45
§ 5. Признаки существования предела. Замечательные пределы. 53
§ 6. Метод подстановки ....................................... 62
§ 7. Сравнение бесконечно малых ............................. 66
§ 8. Свойства бесконечно малых ............................... 70
Задачи к главе 2.................................................. 73
Глава 3. Непрерывность и разрывы функций...................... 81
§ 1. Непрерывность функций. Точки разрыва................... 81
§ 2. Непрерывность функций в интервале, на отрезке .......... 83
§ 3. Классификация точек разрыва ............................. 84
§ 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке . . ............. 91
Задачи к главе 3.................................................. 93
Глава 4. Правило Лопиталя — Бернулли вычисления пределов ..... 105
181
Стр.181
дел¨
§ 1. Правило Лопиталя — Бернулли раскрытия неопре
.................................... 105
eнностей типа0
0
дел¨
§ 2. Логарифмирование для вычисления пределов с неопреeнностями
00 , ∞0 , [1∞] ................................... 110
и ∞
∞
Глава 5. Элементарное исследование свойств функций и построение
их графиков ..................................................... 113
§ 1. Простейшие свойства функций ............................ 113
§ 2. Простейшие преобразования графиков функций ........... 116
§ 3. Асимптоты графиков функций. . . . . . ....................... 123
§ 4. Элементарное исследование свойств функций и построение
их графиков ..................................................... 127
Задачи к главе 5.................................................. 135
Ответы .......................................................... 137
Указания......................................................... 141
Решения ......................................................... 146
Дополнение 1. Схема Горнера .................................... 166
Дополнение 2. Формулы сокращ¨
eнного умножения и деления ..... 168
Дополнение 3. Тригонометрические соотношения ................. 169
Предметный указатель ........................................... 175
Рекомендуемая литература ....................................... 179
Стр.182