Дубограй, О.В. Скуднева ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Методические указания к выполнению типового расчета Москва Издательство МГТУ им. <...> Линейные операторы и их собственные векторы: метод. указания к выполнению типового расчета / И.В. Дубограй, О.В. Скуднева. <...> Приведены основные понятия и определения по теме «Линейный оператор». <...> Если в линейном пространстве L задан закон A, по которому каждому элементу x ∈ L ставится в соответствие единственный вектор y ∈ L1, то этот закон, отображающий пространство L на пространство L1, называется линейным операто ром, если выполняются следующие условия: A(x+y)= где k ∈ R; x ∈ L; отображается на себя) называется линейным преобразованием пространства L. <...> Вектор y называют образом, а вектор x — прообразом. <...> Действие оператора Рассмотрим пространство V2 компланарных геомеAзаключается в повороте этого пространства вокруг некоторой точки на угол ϕ. <...> Так как геометрические векторы свободны, отнесем начала всех этих векторов к точке O, вокруг которой поворачивается пространство. <...> Если x1 и x2 — векторы пространства V2, т. е. они принадлежат плоскости π, то сумма x1+ x2 =x3 — вектор, построенный, например, по правилу параллелограмма. <...> При повороте пространства V2, а следовательно, и плоскости π на угол ϕ вокруг точки O 3 A(kx)=k A(x)+ A(x) , A(y) ; Пример 1. деформирование не происходит, поэтому взаимное расположение образов y1 = A(x1) ; y2 = A(x2) ; y3 = A(x3) окажется таким, что y3 будет вектором, направленным по диагонали параллелограмма, построенного на векторах y1 и y2 как на сторонах: ется линейным. го совпадает с точкой O, без деформирования повернется вместе с плоскостью π на угол ϕ. <...> Ответ: oба условия линейности выполнены, оператор Вектор z = y1+ y2 =y3⇒ A(λx)= λ деленный в пространстве V2, действие которого заключается в проектировании пространства на некоторую прямую l c направляюВыясним, является ли линейным оператор щим вектором l ∈ V2. <...> МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА Ответ: oба условия <...>
_Линейные_операторы_и_их_собственные_векторы.pdf
УДК 512.86
ББК 22.143
Д79
Рецензент В.Г. Крапоткин
Д79
Дубограй И.В.
Линейные операторы и их собственные векторы: метод.
указания к выполнению типового расчета / И.В. Дубограй,
О.В. Скуднева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. –
30, [2] с. : ил.
Приведены основные понятия и определения по теме «Линейный
оператор». Представлен необходимый справочный материал. Рассмотрены
решения типовых задач.
Для студентов первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей.
Рекомендовано
Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 512.86
ББК 22.143
Учебное издание
Дубограй Ирина Валерьевна
Скуднева Оксана Валентиновна
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Методические указания
Редактор О.М. Королева
Корректор Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 26.06.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Изд. № 109.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
-МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
c
Стр.2
ЛИТЕРАТУРА
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 286 с.
Ильичев А. Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы:
Метод. указания к выполнению типового расчета. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2003. 36 с.
Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. 336 с.
Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы пространства:
Метод. указания к выполнению домашнего задания. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 70 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 1. Линейный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§ 2. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§ 3. Действия с линейными операторами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
§ 4. Нахождение собственных векторов линейного оператора. . . . . . 16
§ 5. Второй способ нахождения собственного вектора линейного
оператора, соответствующего простому корню λ0
характеристического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
§ 5. Линейный оператор в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . 24
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Стр.32