Кокотушкин, А.А. Федотов, П.В. Храпов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы» Москва Издательство МГТУ им. <...> Численные методы алгебры и приближения функций : метод. указания к выполнению лабораторных работ по курсу «Численные методы» / Г.А. Кокотушкин, А.А. Федотов, П.В. Храпов. <...> Рассмотрены численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса, LU-разложение, метод квадратного корня, метод прогонки), систем нелинейных уравнений (метод простых итераций, метод Ньютона) и методы приближения функций (интерполяционные многочлены, интерполяция сплайнами, метод наименьших квадратов). <...> Приведены варианты индивидуальных заданий к лабораторным работам. <...> Н.Э. Баумана, 2011 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие содержит теоретический материал и варианты заданий к лабораторным работам по разделам «Численные методы алгебры» и «Приближение функций» курса «Численные методы». <...> Глава 1 посвящена изучению методов решения систем линейных уравнений. <...> Определяются различные нормированные пространства, вводятся и обсуждаются понятия нормы матрицы, устойчивости системы линейных алгебраических уравнений. <...> Дается алгоритм степенного метода, рассматривается его применение для нахождения меры обусловленности симметричных матриц. <...> Излагаются метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного элемента, алгоритм LU-разложения, метод квадратного корня, метод прогонки для решения трехдиагональной системы линейных алгебраических уравнений, численные методы решения систем нелинейных уравнений: метод простых итераций и метод Ньютона. <...> Рассматривается интерполяционный многочлен Лагранжа, дается оценка его погрешности. <...> Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений Нормированные пространства. <...> Пусть C[a,b] — пространство непрерывных на [a,b] f = Докажем выполнение условия 3 в определении нормированного пространства: f g += + ≤ Пример <...>
Численные_методы_алгебры_и_приближения_функций.pdf
УДК 518.12
ББК 22.193
К59
Рецензент В.Ю. Чуев
К59
Кокотушкин Г.А.
Численные методы алгебры и приближения функций :
метод. указания к выполнению лабораторных работ по курсу
«Численные методы» / Г.А. Кокотушкин, А.А. Федотов,
П.В. Храпов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. —
58, [2] c. : ил.
Рассмотрены численные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений (метод Гаусса, LU-разложение, метод
квадратного корня, метод прогонки), систем нелинейных уравнений
(метод простых итераций, метод Ньютона) и методы приближения
функций (интерполяционные многочлены, интерполяция сплайнами,
метод наименьших квадратов). Приведены варианты индивидуальных
заданий к лабораторным работам.
Для студентов 2-го курса факультетов МТ и РК МГТУ
им. Н.Э. Баумана. Пособие может быть использовано студентами
других факультетов.
Методические указания рекомендованы Учебно-методической
комиссией НУК ФН.
УДК 518.12
ББК 22.193
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................................................................3
1. Численные методы алгебры.....................................................................4
1.1. Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений........4
Нормированные пространства. Свойства нормы матрицы ...................4
Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений..............8
Степенной метод.................................................................................10
Нахождение меры обусловленности симметричной матрицы A
степенным методом...................................................................11
1.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом Гаусса ................................................................................12
Прямой ход метода Гаусса..................................................................12
Обратный ход метода Гаусса ..............................................................13
Метод Гаусса с выбором главного элемента.......................................14
Задание к лабораторной работе «Метод Гаусса
с выбором главного элемента»..................................................16
1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
с помощью LU-разложения .............................................................20
Задание к лабораторной работе «Решение систем линейных
алгебраических уравнений с помощью LU-разложения».........21
1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом квадратного корня.............................................................23
Задание к лабораторной работе «Решение систем линейных
алгебраических уравнений методом квадратного корня»..........26
1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений
с трехдиагональной матрицей методом прогонки ..........................26
Задание к лабораторной работе «Решение СЛАУ
с трехдиагональной матрицей методом прогонки» ...................29
1.6. Численные методы решения систем нелинейных уравнений........31
Метод последовательных приближений.............................................31
Метод Ньютона...................................................................................35
Модифицированный метод Ньютона..................................................38
58
Стр.58
Метод секущих ...................................................................................38
Задание к лабораторной работе «Численные методы
решения систем нелинейных уравнений» .................................39
2. Приближение функций ..........................................................................42
2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.......................................42
2.2. Сплайн-интерполяция .....................................................................46
Задание к лабораторной работе «Сплайн-интерполяция»...................49
2.3. Метод наименьших квадратов.........................................................52
Задание к лабораторной работе «Метод наименьших квадратов»......56
Литература .................................................................................................57
59
Стр.59