Котович, И.В. Станкевич РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Методические указания к решению задач по курсу «Сеточные методы» Под редакцией В.С. Зарубина Москва Издательство МГТУ им. <...> К73 Решение задач теплопроводности методом конечных элементов : метод. указания к решению задач по курсу «Сеточные методы» / А.В. Котович, И.В. Станкевич; под ред. <...> Характерной особенностью МКЭ является прозрачность основных вычислительных процедур, дающих возможность эффективно контролировать обработку данных. <...> Существенным преимуществом вариационных формулировок является то, что они позволяют не только найти решение, но и оценить его погрешность. <...> Без ограничения общности не удается дать эквивалентную вариационную постановку нестационарным задачам теплопроводности, поэтому технически простым является использование метода Роте [10]. <...> На первом этапе с помощью процедур МКЭ выполняется дискретизация по пространству, а на втором применяется какая-либо конечноразностная схема на временном отрезке, приводящая к пошаговой процедуре интегрирования по времени. <...> Эти трудности можно обойти, если нестационарную задачу в каждый момент времени решать методом простых итераций с явным заданием скорректированных значений коэффициентов уравнения теплопроводности и граничных условий, применяя метод Галеркина для построения матричных соотношений МКЭ. <...> При этом перед очередной итерацией определя4 ют численные значения коэффициентов по полученному на предыдущей итерации решению. <...> В методических указаниях рассмотрены формулировки нелинейных стационарных и нестационарных задач теплопроводности и основные особенности построения численного решения этих задач в рамках конечно-элементной технологии. <...> Особое внимание уделено вопросам применения квадратичных изопараметрических конечных элементов. <...> ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ выбранной прямоугольной декартовой <...>
Решение_задач_теплопроводности_методом_конечных_элементов.pdf
УДК 519.3
ББК 22.161.8
К73
Рецензент И.К. Волков
Котович А.В.
К73
Решение задач теплопроводности методом конечных элементов
: метод. указания к решению задач по курсу «Сеточные
методы» / А.В. Котович, И.В. Станкевич; под ред. В.С. Зарубина.
– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 84, [4] с. :
ил.
Приведены формулировки стационарных и нестационарных
задач теплопроводности. Рассмотрены основные особенности построения
численного решения этих задач в рамках конечноэлементной
технологии.
Для студентов 4-го курса факультета ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана,
изучающих курс «Сеточные методы» и выполняющих соответствующую
курсовую работу. Могут быть полезны студентам
старших курсов других факультетов, изучающим численные методы
решения краевых задач.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН.
УДК 519.3
ББК 22.161.8
Работа выполнена в рамках гранта поддержки ведущих
научных школ № НШ-4046.2010.8
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ...................................................................................................... 3
1. Постановка нелинейной стационарной задачи теплопроводности ....... 5
2. Вариационная формулировка стационарной задачи теплопроводности
................................................................................................................. 7
3. Постановка нелинейной нестационарной задачи теплопроводности ..... 10
4. Построение матричных соотношений МКЭ ......................................... 12
4.1. Понятие конечного элемента ....................................................... 12
4.2. Стационарная задача теплопроводности ..................................... 18
4.3. Нестационарная задача теплопроводности ................................. 24
5. Изопараметрические отображения и функции формы конечных элементов
.......................................................................................................... 27
5.1. Построение изопараметрических отображений ......................... 27
5.2. Функции формы конечных элементов ........................................ 30
6. Особенности численного интегрирования матричных соотношений
МКЭ .............................................................................................................. 36
6.1. Интегрирование по объему ........................................................... 37
6.2. Интегрирование по поверхности ................................................. 43
7. Особенности численного решения задачи Коши ................................. 47
7.1. Двухслойные разностные схемы .................................................. 47
7.2. Трехслойные разностные схемы .................................................. 48
7.3. Диагонализация матрицы теплоемкости ..................................... 53
8. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений ........ 55
8.1. Основные понятия теории итерационных методов .................... 55
8.2. Двухслойные итерационные методы ........................................... 59
8.3. Трехслойные итерационные методы ........................................... 68
8.4. Локально оптимальные трехслойные методы ............................ 72
8.5. Построение и использование разреженных матриц ................... 75
Литература ................................................................................................... 83
86
Стр.86