Конспект лекций по учебной дисциплине «Вычислительная математика» (190,00 руб.)

Стр.3

Стр.4

Стр.5

Стр.6

Стр.7

УДК 512.6, 514.1 Блатов И.А., Старожилова О.В. Вычислительная математика. Конспект лекций.- Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2010.-240 Конспект лекций затрагивает такие разделы вычислительной математики как методы аппроксимации и приближения функций; численное дифференцирование и интегрирование; методы решения задач линейной алгебры, нелинейных уравнений. Конспект содержит ряд инженерных задач с акцентом на программную реализацию методов вычислительной математики. Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки. Рецензент: Асташкин С.В. – д.ф.м.н., проф., зав.кафедрой Самарского государственного университета Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики Блатов И.А., Старожилова О.В., 2010 3

Стр.3

Содержание Введение ................................................................. 8 Лекция 1 ....................................................................... 10 Предмет вычислительной математики ................ 10 Влияние алгоритма на результаты вычислений . 10 Экономичность вычислительного метода ........... 14 Погрешность вычислительного метода ............... 15 Обусловленность задачи ....................................... 16 Контрольные вопросы ........................................... 19 Лекция 2 ....................................................................... 20 Основные источники погрешностей .................... 20 Значащие цифры и верные значащие цифры числа 23 Погрешность суммы .............................................. 26 Погрешность разности .......................................... 28 Погрешность произведения .................................. 28 Погрешность частного........................................... 29 Погрешность степени ............................................ 30 Вычислительная погрешность .............................. 33 Задачи для самостоятельного решения ............... 33 Контрольные вопросы ........................................... 34 Лекция 3 ....................................................................... 35 Интерполирование и приближение функций ..... 35 Задача приближения .............................................. 36 Задачи интерполирования функций ..................... 36 Ошибка полиномиальной интерполяции ............ 39 Метод наименьших квадратов .............................. 40 Задачи для самостоятельного решения ............... 44 Контрольные вопросы ........................................... 45 Лекция 4 ....................................................................... 46 Интерполяционный многочлен Лагранжа ........... 46 Оценка погрешности ............................................. 48 Задачи для самостоятельного решения ............... 49 Контрольные вопросы ........................................... 50 Лекция 5 ....................................................................... 51 Интерполирование сплайнами ............................. 51 Варианты условий на концах отрезка интерполяции 55 Задачи для самостоятельного решения ............... 56 Контрольные вопросы ........................................... 56 Лекция 6 ...................................................................... 57 Конечные разности различных порядков ............ 57 Интерполяционный полином Ньютона ............... 58 Погрешность интерполяционного полинома Ньютона 61 4

Стр.4

Интерполяционные формулы Гаусса ................... 63 Таблица центральных разностей .......................... 63 Интерполяция средствами Mathcad ..................... 64 Задачи для самостоятельного решения ............... 68 Контрольные вопросы ........................................... 69 Лекция 7 ....................................................................... 70 Численное дифференцирование ........................... 70 Дифференцирование по формуле Ньютона ........ 72 Формулы, основанные на разностных отношениях 73 Операция дифференцирования в пакете Mathcad Контрольные вопросы ........................................... 75 73 Лекция 8 ....................................................................... 76 Численное интегрирование ................................... 76 Формулы прямоугольников .................................. 77 Формула трапеций ................................................. 79 Формула Симпсона ................................................ 81 Правило Рунге ........................................................ 82 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса ........... 84 Задачи для самостоятельного решения ............... 86 Контрольные вопросы ........................................... 87 Лекция 9 ....................................................................... 88 Квадратурные формулы Гаусса ............................ 88 О точности квадратурных формул ....................... 91 Сходимость квадратурных формул...................... 92 Экстраполяция по Ричардсону ............................. 93 Задачи для самостоятельного решения ............... 94 Контрольные вопросы ........................................... 95 Лекция 10 ..................................................................... 96 Приближенное вычисление несобственных интегралов Метод Л.В.Канторовича выделения особенностей 97 Задачи для самостоятельного решения ............... 98 Контрольные вопросы ........................................... 98 Лекция 11 ..................................................................... 99 Решение нелинейных уравнений.......................... 99 Отделение корней .................................................. 99 Графический метод ................................................ 100 Метод дихотомии ................................................... 102 Задачи для самостоятельного решения ............... 103 Решение нелинейных уравнений в пакете Mathcad 103 Символьное решение уравнения .......................... 103 Численное решение уравнений ............................ 105 Метод простых итераций ...................................... 106 Метод касательных (Ньютона) ............................. 110 Задачи для самостоятельного решения ............... 111 5 96

Стр.5

Контрольные вопросы ........................................... 112 Лекция 12 ..................................................................... 113 Решение систем линейных уравнений ................. 113 Метод Гаусса с выбором главного элемента ...... 115 Количество операций при реализации метода Гаусса 118 Метод Гаусса с частичным выбором главного элемента Метод квадратных корней .................................... 123 Схема Халецкого .................................................... 126 Задачи для самостоятельного решения ............... 127 Контрольные вопросы ........................................... 128 Лекция 13 ..................................................................... 129 Итерационные методы решения СЛАУ .............. 129 Классификация итерационных методов .............. 129 Метод итераций ...................................................... 130 Достаточное условие сходимости процесса итерации 132 Метод Зейделя ........................................................ 135 Метод релаксации .................................................. 138 Задачи для самостоятельного решения ............... 142 Контрольные вопросы ........................................... 143 Лекция 14 .................................................................... 144 Численное решение дифференциальных уравнений 144 Метод Эйлера ......................................................... 146 Погрешности метода решения .............................. 147 Модифицированный метод Эйлера ..................... 150 Задачи для самостоятельного решения ............... 152 Контрольные вопросы ........................................... 152 Лекция 15 ..................................................................... 153 Методы Рунге-Кутта .............................................. 153 Правило Рунге ........................................................ 157 Метод Рунге-Кутта 4 порядка в системе Mathcad Задачи для самостоятельного решения ............... 160 Контрольные вопросы ........................................... 161 Лекция 16 ..................................................................... 162 Многошаговые разностные методы ..................... 162 Устойчивость и сходимость многошаговых методов 164 Метод Пикара (последовательных приближений) 164 Метод малого параметра ....................................... 165 Метод Адамса ......................................................... 166 Примеры m-шаговых разностных методов Адамса 167 Неявные схемы ....................................................... 168 Сгущение сетки ...................................................... 168 Контрольные вопросы ........................................... 169 Лекция 17 ..................................................................... 170 Краевые задачи ....................................................... 170 6 158 119

Стр.6

Линейная краевая задача ....................................... 171 Метод стрельбы ...................................................... 172 Разностные методы решения краевых задач ....... 175 Задачи для самостоятельного решения ............... 177 Контрольные вопросы ........................................... 177 Глоссарий ................................................................ 178 К лекции 1 ............................................................... 178 К лекции 2 ............................................................... 178 К лекции 3 .............................................................. 179 К лекции 4 .............................................................. 179 К лекции 5 .............................................................. 179 К лекции 6 .............................................................. 180 К лекции 7 .............................................................. 181 К лекции 8 .............................................................. 181 К лекции 9 .............................................................. 182 К лекции 10 ............................................................ 182 К лекции 11 ............................................................ 182 К лекции 12 ............................................................ 183 К лекции 13 ............................................................ 183 К лекции 14 ............................................................. 184 К лекции 15 ............................................................ 185 К лекции 16 ............................................................ 186 К лекции 17 ............................................................ 187 Рекомендуемая литература ................................... 189 Основная ................................................................. 189 Дополнительная ..................................................... 189 7

Стр.7