Ю р ч е н ко
КВАТЕРНИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СПИНОВЫХ ТОМОГРАММ
Рассматрено применение кватернионов для описания квантовых
систем с дискретными переменными с помощью спиновых томограмм. <...> Представлено определение спиновой томограммы при помощи кватерниона. <...> Томограммы, использующиеся в квантовой механике для вероятностного описания состояний в фазовом пространстве, являются
в настоящее время предметом обширных теоретических и экспериментальных исследований [1–4]. <...> Томограммы — это неотрицательные
функции распределения вероятностей, которые могут быть определены для непрерывных (симплектических, оптических томограмм)
и дискретных переменных (спиновой томограммы, томограммы счета
фотонов) [3, 4]. <...> Пусть квантовое состояние описывается волновой функцией в координатном
представлении ψ(q). <...> Тогда симплектическая томограмма T (ε, μ, η)
наблюдаемой ε, которая является линейной комбинацией квадратурных компонент координаты q и импульса p
ε = μ
q + η
p
определяется через волновую функцию ψ(q) следующим образом:
T (ε, μ, η) = |Fμ,η [ψ(q)](ε)|2 ,
где Fμ,η — оператор дробного преобразования Фурье:
2
iμ
1 iε
T (ε, μ, η) =
q 2 − q dq . <...> (1)
Параметры μ и η — это элементы матрицы M симплектической
группы Sp2 (R) (поворот в фазовом пространстве). <...> Таким образом, μ
и η — это параметры системы отсчета, в которой проводится измерение квантового состояния. <...> Преобразование обобщенных координат
и импульсов под действием матрицы M является каноническим и может быть представлено в виде:
q <...> Как и всякое каноническое преобразование, (2) сохраняет скобку Пуассона в классическом случае и коммутатор в квантовом случае. <...> Для матрицы M справедливо разложение Ивасавы, поскольку
Sp2 (R) является полупростой группой Ли: <...> Таким образом, частным случаем преобразования (2) является действие матриц вращения группы SO(R):
cos θ sin θ
,
− sin θ cos θ
где θ ∈ R/2πZ — угол поворота. <...> В случае поворота (2) фазового пространства на угол θ томограмма переменных ε и θ называют оптической. <...> Связь <...>