Н. Г. Х о р ь к о в а
НЕЛОКАЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ
АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Изложены основы теории накрытий дифференциальных уравнений,
в рамках которой оказывается возможным корректное описание
различных нелокальных явлений. <...> E-mail: nkhorkova@diffiety.ac.ru, ninakhorkova@yandex.ru
Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений в частных производных, локальные симметрии и законы сохранения, оператор рекурсии, накрытия, нелокальные симметрии. <...> Пусть E — система дифференциальных уравнений в частных производных (далее
“дифференциальное уравнение” или просто “уравнение”) в векторном расслоении π : E n+m → M n . <...> В рамках алгебро-геометрической
теории любое дифференциальное уравнение рассматривается как подмногообразие пространства джетов k-го порядка J k (π) расслоения π,
где k — максимальный порядок уравнений, входящих в систему, n —
число независимых переменных, а m — неизвестных функций (зависимых переменных). <...> Очевидно, что каждая вектор-функция, являющаяся решением
рассматриваемой системы, будет удовлетворять также любому уравнению, получающемуся дифференцированием уравнений исходной
системы. <...> Поэтому естественно ввести в рассмотрение бесконечно
продолженное уравнение E ∞ ⊂ J ∞ (π), которое задается системой
Dσ F = 0, состоящей из дифференциальных следствий уравнений
исходной системы F = 0. <...> Каждое решение, u = (u1 , . . . , um ), uj ∈ C ∞ (M n ), системы дифференциальных уравнений определяет n-мерное подмногообразие su
пространства J ∞ (π), которое в канонических координатах (xi , pjσ ) пространства бесконечных джетов задается уравнениями
∂ |σ| uj
.
∂xσ
Если вектор-функция u является решением рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, то su ⊂ E ∞ .
pjσ =
ISSN 1812-3368. <...> 2012
205
На многообразии бесконечных джетов J ∞ (π) имеется n-мерное
интегрируемое распределение C, задаваемое полями
X j <...> Di =
∂xi
∂pσ
j,σ
Это распределение, называемое распределением Картана, допускает ограничение Cˉ на бесконечно продолженное уравнение <...>