С. А. Черепанова
Математика
Часть II
Дифференциальное и интегральное исчисления
Красноярск 2013
Стр.1
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический
университет»
Лесосибирский филиал
С. А. Черепанова
Математика
Часть II
Дифференциальное и интегральное исчисления
Утверждено редакционно-издательским советом СибГТУ в качестве
сборника контрольных заданий для студентов специальности 150405.65
«Машины и оборудование лесного комплекса»
заочной формы обучения
Красноярск 2013
Стр.2
УДК 517
Черепанова С. А. Математика. Часть II. Дифференциальное и интегральное
исчисления: сборник контрольных заданий для студентов специальности
150405.65 Машины и оборудование лесного комплекса заочной
формы обучения / С. А. Черепанова – Красноярск: СибГТУ, 2013. – 78 с.
Рецензенты: доцент, канд. пед. наук С. А. Осяк (Лесосибирский
педагогический институт – филиал СФУ), доцент Н. Г. Черноусова (научно
– методический совет СибГТУ).
© С. А. Черепанова, 2013
© ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический
университет», Лесосибирский филиал, 2013
Стр.3
3
Введение
Согласно рабочим учебным планам специальности 150405.65
заочной формы обучения в первом, втором и третьем семестрах студенты
должны выполнить по две контрольных работы, в четвёртом семестре –
одну контрольную работу.
Для изучения разделов математики: «Линейная и векторная алгебра»,
«Аналитическая геометрия», «Введение в анализ»
и выполнения
контрольных работ в первом семестре предназначена первая часть
сборника контрольных заданий, изданная в 2011 году.
Настоящий сборник контрольных заданий предназначен в помощь
студентам специальности 150405.65 заочной формы обучения при
изучении математики и выполнении контрольных работ во втором
семестре. Сборник контрольных заданий содержит краткий теоретический
материал и образцы решения задач по разделам математики:
«Дифференциальное
исчисление
функций
одной
переменной», «Дифференциальное исчисление функций
независимой
нескольких
переменных», «Интегральное исчисление функций одной независимой
переменной», «Интегральное исчисление функций двух независимых
переменных». Рабочей программой учебной дисциплины «Математика»
предусмотрено 6 часов лекционных занятий и 4 часа практических
занятий. На самостоятельную работу отводится 162 часа, в том числе для
выполнения контрольных работ № 1, № 2 ( текущий контроль знаний).
Контрольная работа № 1 «Дифференциальное исчисление функций
одной и нескольких переменных».
Контрольная работа № 2 «Интегральное исчисление функций одной
и двух переменных».
С целью проверки уровня остаточных знаний студентов по высшей
математике в сборник контрольных заданий включена аудиторная
Стр.4
4
проверочная работа по теме «Элементы линейной алгебры, аналитической
геометрии и введения в анализ» (предварительный контроль знаний).
Проверочная работа выполняется студентами во время сессии, на первом
занятии
по математике. Результаты проверочной работы позволят
преподавателю сделать выводы об уровне знаний основных понятий
высшей математики, изученных студентами в первом семестре.
Для проверки уровня знаний, усвоенных студентами во втором
семестре, в сборнике предусмотрена аудиторная проверочная работа
«Элементы дифференциального и интегрального исчислений» по
изученным во втором семестре разделам высшей математики (рубежный
контроль знаний). Проверочная работа выполняется студентами во время
сессии, на последнем практическом занятии по математике.
В конце второй лабораторно-экзаменационной сессии студенты
сдают экзамен.
Задачи сборника контрольных заданий:
определение содержания, видов и форм контроля знаний и умений
студентов по математике во втором семестре;
указание литературных источников, необходимых для изучения
перечисленных разделов курса;
овладение методами и методиками решения математических задач
для выполнения контрольных заданий.
Цели сборника контрольных заданий:
управление процессом обучения, на основе оценки
эффективности усвоения программного материала, учебной дисциплины и
качества знаний студентов;
закрепление, углубление и расширение знаний студентов при
решении конкретных практических и прикладных задач;
Стр.5
5
развитие познавательных способностей, самостоятельного
мышления, творческой активности студентов;
повышение общего уровня математической культуры.
1 Общие указания к оформлению контрольных работ
Согласно графику учебного процесса студентов специальности
150405.65 заочной формы обучения во втором семестре предусмотрена
летняя лабораторно-экзаменационная сессии. При подготовке к летней
лабораторно - экзаменационной сессии каждый студент должен выполнить
две контрольные работы (КР), которые содержат основной материал
разделов высшей математики, изучаемых во втором семестре. Задания для
КР № 1, КР № 2 систематизированы согласно рабочей программе
дисциплины для того, чтобы изучаемый материал был взаимосвязан между
собой и легче усваивался.
Индивидуальные задания для проверочных и контрольных работ
составлены в десяти вариантах и выбираются согласно варианту, номер
которого определяется последней цифрой номера зачётной книжки
студента. Номера индивидуальных заданий, согласно варианту,
представлены в таблицах 1 – 3.
Таблица 1 – Задания для аудиторной проверочной работы
«Элементы линейной алгебры, аналитической геометрии и введения в
анализ»
Перед выполнением заданий контрольных работ № 1, № 2 (таблица
2) студенту необходимо изучить соответствующие разделы курса высшей
математики по конспектам лекционных и практических занятий, а также
по учебникам и пособиям. Ссылки на учебники и пособия,
рекомендованные в библиографическом списке сборника, обозначаются
Стр.6
6
номерами в квадратных скобках. Например, [5] означает ссылку на
учебник Н. С. Пискунова.
Таблица 1– Задания для аудиторной проверочной работы «Элементы
линейной алгебры, аналитической геометрии и введения в анализ»
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Номера заданий
1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91
2, 12, 22, 32, 42, 52 62, 72, 82, 92
3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93
4, 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95
6, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97
8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Таблица 2 – Задания для контрольных работ №1, №2
№
варианта
Номера заданий КР №1
1 101, 111, 121, 131, 141, 151
2 102, 112, 122, 132, 142, 152
3 103, 113, 123, 133, 143, 153
4 104, 114, 124, 134, 144, 154
5 105, 115, 125, 135, 145, 155
6 106, 116, 126, 136, 146, 156
7 107, 117, 127, 137, 147, 157
8 108, 118, 128, 138, 148, 158
9 109, 119, 129, 139, 149, 159
0 110, 120, 130, 140, 150, 160
Номера заданий КР №2
161, 171, 181, 191, 201, 211
162, 172, 182, 192, 202, 212
163, 173, 183, 193, 203, 213
164, 174, 184, 194, 204, 214
165, 175, 185, 195, 205, 215
166, 176, 186, 196, 206, 216
167, 177, 187, 197, 207, 217
168, 178, 188, 198, 208, 218
169, 179, 189, 199, 209, 219
170, 180, 190, 200, 210, 220
Стр.7
7
Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради.
Образец оформления титульного листа представлен в приложении
сборника. В работу должны быть включены все задания индивидуального
варианта, в соответствии с его номером. Перед решением конкретной
задачи необходимо привести ее условие. Решение задачи должно быть
приведено с промежуточными расчётами, необходимыми рисунками и
пояснениями.
Требованиями к защите контрольных работ являются умения
студента объяснять решение любой задачи и отвечать на теоретические
вопросы по содержанию контрольной работы. Требованиями допуска к
экзамену являются наличие у студента контрольных работ, прошедших
защиту, а также выполнение на положительную оценку аудиторной
проверочной работы по
теме «Элементы дифференциального и
интегрального исчислений».
Таблица 3 – Задания для аудиторной проверочной работы
«Элементы дифференциального и интегрального исчислений»
№
Номера заданий
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
221, 231, 241, 251, 261, 271
222, 232, 242, 252, 262, 272
223, 233, 243, 253, 263, 273
224, 234, 244, 254, 264, 274
225, 235, 245, 255, 265, 275
226, 236, 246, 256, 266, 276
227, 237, 247, 257, 267, 277
228, 238, 248, 258, 268, 278
229, 239, 249, 259, 269, 279
230, 240, 250, 260, 270, 280
Стр.8
8
2. Аудиторная проверочная работа «Элементы линейной
алгебры, аналитической геометрии и введения в анализ»
Задание №1
1-10. Вычислить определитель матрицы А.
1. А
2. А
3. А
4. А
- 2 1 2
- 3 4 0
0 1 0
.
6. А
- 2 - 6 13
1 - 3 3
- 1 - 4 8
4 - 5 7
- 4 0 5
1 - 4 9
1 2 -1
- 1 0 1
5 6 3
5. А
6 - 9 4
5 - 7 3
4 - 5 2
.
7. А
.
8. А
.
9. А
- 1 0 - 2
5 - 3 3
2 - 1 2
.
12 - 24 13
10 - 19 10
7 0 0
4 - 8 - 2
- 4 - 1 0
3 1 0
6 - 7 7
4 - 7 8
1 - 3 4
.
10. А
1 13 0
0 1 0
0 7 4
.
.
.
.
Стр.9
9
Задание №2
21-30. Построить график функции y = ax+b.
21. y = 2x + 1.
23. y = 3x-1.
25. y = 4x+3.
27. y = 2x-3.
22. y = -2x + 1.
24. y = 3x+1.
26. y = -2x+4.
28. y = -2x+3.
29. y = 3x-2. 30. y = 3x+4.
Задание №3
11-20. Заданы координаты концов отрезка М0 М1 (таблица 4). Найти:
1) длину отрезка М 0 М 1;
2) общее уравнение прямой М 0 М 1.
Таблица 4 – Координаты концов отрезка М 0 М 1
М 0
М 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(3, 2)
(-2, 6)
(2, 5)
(2, -3)
(5, 3)
(-1, -2)
(1, 5)
(-3, -5)
(1, 1)
(3, 2)
(-2, 5)
(3, -1)
(3, 3)
(1, 0)
(1, 4)
(0, -3)
(-3, 0)
(2, -2)
(4, 6)
(4, -1)
Стр.10
10
Задание №4
31-40. Найти длину малой полуоси эллипса, заданного
каноническим уравнением
2
31.
33.
35.
37.
39.
x
25
y
2
9
x2 y
36
x
2
2
49 25
2
x
x
2
y
y
y
2
4
16 25
2
9 16
2
= 1.
= 1.
= 1.
= 1.
34.
36.
38.
40.
= 1.
32.
а
х
2
2
b
у
2 1
2
. Сделать чертёж.
x
4
2
x
2
x
2
x
2
x
2
y
y
y
2
9
25 16
2
16 49
2
144 25
2
y
64 36
2
y
= 1.
= 1.
= 1.
= 1.
= 1.
Задание №5
41-50. Дан параллелограмм АВСД. Точка М лежит на стороне СД.
Координаты вершин параллелограмма задать самостоятельно. Найти
сумму(разность) векторов:
1) АВ + АД ;
2) ДМ – АМ ;
3) АВ + СД .
Задание №6
51-60. Найти скалярное произведение векторов а = {х1; у1; z1} и
b = {x2; y2; z2}.
51. а = {1; 2 ; – 1},
b = {2; 1; 4}.
53. а = {2; 1; – 2},
b = {1; 4; 6}.
52. а = {3; –1; 4},
b = {2; 10; 1}.
54. а = {1; –2; 1},
b = {4; 2; 8}.
Стр.11
11
55. а = {1; 2; –1 },
b = {2; 3; 1}.
57. а = {4; 6; 2},
b = {–1; –2; 4}.
59. а = {3; 1 ; – 2},
b = {2; – 1; 1}.
Задание №7
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 (таблица 5).
Таблица 5 – Координаты вершин пирамиды А1А2А3А4
Координаты
точки А1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
(4; 2; 5)
(4; 4; 10)
(4; 6; 5)
(3; 5; 4)
(10; 6; 6)
(1; 8; 2)
(6; 5; 5)
(7; 2; 2)
(8; 6; 4)
(7; 7; 3)
Координаты
точки А2
(0; 7; 2)
(4; 10; 2)
(6; 9; 4)
(8; 7; 4)
(-2; 8; 2)
(5; 2; 6)
(4; 9; 5)
(5; 7; 7)
(10; 5; 5)
(6; 5; 8)
Координаты
точки А3
(0; 2; 7)
(2; 8; 4)
(2; 10; 10)
(5; 10; 4)
(6; 8; 9)
(5; 7; 4)
(4; 6; 11)
(5; 3; 1)
(5; 6; 8)
(3; 5; 8)
Найти объём пирамиды А1А2А3А4. Сделать чертёж.
Координаты
точки А4
(1; 5; 0)
(9; 6; 4)
(7; 5; 9)
(4; 7; 8)
(7; 10; 3)
(4; 10; 9)
(6; 9; 3)
(2; 3; 7)
(8; 10; 7)
(8; 4; 1)
56. а = {1; 3; –2},
b = {1; 1; 2}.
58. а = {1; 4; 5},
b = {5; 1; 3}.
60. а = {2; –1; 3},
b = {1; 2; – 4}.
Стр.12
12
Задание №8
71-80. Найти область определения функции у = f (x).
x
71. y = ln
73. y = lg
75. y = lg
77. y = lg
79. y = lg
2 4
5 x
4 1
2
x
x
1
32 8
x
12 1
5 4
x
x
1 3 x
2 1
x
.
80. y = lg
x
.
.
.
.
72. y = ln
74. y = lg
76. y = lg
78. y = lg
7 1
5
x
2 3
x
x
x
8 1
1
x
2 1
x
x
x
2 1
1
x
x
4
7
.
.
.
.
.
Задание №9
81-90. Вычислить произведение и частное двух комплексных чисел
z1 и z2.
81. z1 = 2 – 3i, z2 = 1 + i;
83. z1 = 2 + 2i, z2 = 1 – i;
85. z1 = 3 – 2i, z2 = - 1 + i;
87. z1 = 2 + 4i, z2 = 2 – i;
89. z1 = 1 + 4i, z2 = 2 – 3i;
82. z1 = - 2 + 3i, z2 = 1 – i;
84. z1 = 3 – 2i, z2 = 1 + i;
86. z1 = 3 – 2i, z2 = 1 – i;
88. z1 = 2 – 4i, z2 = 2 + i;
90. z1 = 1 – 4i, z2 = 2 – 3i.
Задание №10
91-100. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Стр.13
14
91. а) x x
92. а) lim
x
x
x
2
3 2
lim 1 2
x
3 1
3 1
93. а) lim 2x
x x
94. а) lim 3x
x 2x
95. а) lim 2x
x 5x
x 4
4 6
2
3 3
x
x
x
4 6
2 6 5
x
x
2 1
x
96. а) lim 3 x4
x
x
97. а) lim
x
98. а) lim 5x
x 3x
x 2 3x x 4
2 x3 1
99. а) lim 7x 2x3 2
x x4
2 5
4
x
3
100. а) lim 8x 3x 9
x 2x 2x 5
5
5
2
2
;
б)
x
lim 2
x 2x x4
2
2
5
;
;
12 1
5
;
;
;
;
3 5
2
;
;
;
б) x
lim 1
0
б) x
x
б) x x 7
x
lim 2
7
21
lim
x
б) lim0
x
x
x
x
3 x
x
3
.
x
x
б) x0
lim 1 1
x
x0
2
1 3 1
2
x
.
.
б) lim 1 3x x
1 2
б) lim 1 3x 1
x x 3
x0
б) x
2
lim 2 1
3
x
x
x5
3
б) lim 1 3x
x x
2
x 2
2 x 2
5
.
3. Контрольная работа №1 «Дифференциальное исчисление
функций одной и нескольких переменных»
Задание №1
101-110. Найти производную dx
dy
101. а) y 2 4 3
x
x
3
3
x
1
,
5
2 6
x
.
x x 2
2
.
.
1
.
.
данной функции у = f (x).
б) y (e xcos 3) 2
,
Стр.14
15
102. а) y x2 1 x 2
x
103. а) y x
в) y ln sin(2 5 )x
,
в) y arctg e2 ,
(1 2
105. а) y x a2 x 2
в) y x ln ( 1 )x-x/
,
106. а) y 1/ x
107. а) y 3 (1 x /) (1 x )
в) y 3arctgx
2
в) y arctg
108. а) y 3 x 5x /x ,
в) y arctg( 2xtg
3
5
4
5
110. а) y
109. а) y 5 x x /x ,
в) y (arcsin ) 1 2-x
2
5 2
x /
x
в) y arctg
1
3 3
x / x
) ,
1
,
x 1,
(3 ) ( 2 )
,
2
1 1 2x
x
,
104. а) y (3 6 ) 3 4 5 2x
в) y xm ln x ,
в) y arcsin 1 3 ,
x
x
,
2 1 5 x ,
3
5 3
1
,
,
x /) (1 ) x
- x
,
,
б) y 4sin cos2 ,
г) x-y arctg y 0 .
б) y 1/tg 2 x2
г) tg y/x 5) .
x/
(
x
x
,
г) y sin x cos(x y ) .
, б) y sin x x cos x ,
г) (y/x) arctg x/y) .
(
б) y (sin
x
г) (e -1)(e
2 x /) (2 3cos )
y
1) 1 0.
б) y tg x 1 ) ,
г) y x e .y/x2
2 ( 2
3
б) y (1 2) 2 ln cos x ,
/ tg x
г) x y - axy 0 .
3
3 3
г) x y a
б) y 2
б) y ln (1 sin ) (1 sin )x ,
sin 0 .
x -xe
y
,
г) ln y arctg x/y .)
б) y (1 3) 3
(
г) x-y e arctg xy
/ tg x-tgx x ,
0 .
x /
2 x ,
Стр.15