ISBN 978-5-7882-0681-3 Предназначены для студентов всех специальностей бакалаврской подготовки в качестве руководства к выполнению типовых расчетных работ по темам: « Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы» и «Криволинейные интегралы». <...> Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и его применение к исследованию функций 1.1. <...> Область определения функции нескольких переменных Переменная величина z = f(x, y) называется функцией двух переменных x и y, если для каждой пары значений (х, у) из некоторой области D существует единственное значение z. <...> Под областью определения D функции z = f(x, y) понимается совокупность точек (x, y) плоскости ХОУ, в которых данная функция определена, т.е. для этих точек существует значение выражения z = f(x,y). <...> Область определения функции двух переменных представляет собой часть координатной плоскости ХОУ, ограниченную одной или несколькими кривыми. <...> Тогда областью определения всей функции являются две полуполосы, изображенные на рис. <...> Эти неравенства задают І и ІІІ координатные четверти xy . или -2 0 2 x Рис. <...> Линии и поверхности уровня Графиком функции двух переменных называется совокупность троек (x,y,z), связанных соотношением z = f(x, y), ( , ) Dyx ∈ . <...> Линии пересечения этой поверхности с плоскостями, параллельными координатной плоскости ХОУ, называются линиями уровня функции. <...> Семейство линий уровня функции z = f(x, y) определяется как z множество решений системы уравнений: z = = f(x, y) const . поверхностей уровня находится из системы уравнений: z = arccos x2 y2 + Пусть u = f(x,y,z) – функция трех переменных. <...> Построить семейство линий уровня функции 2 и найти линию уровня, проходящую через точку (1,0). <...> Решение: Семейство линий уровня функции определяется из системы: 2 z = arccos z = const x + y 2 2 , где, согласно области значений функции z, const может принимать значения на промежутке [0,π/2]. <...> Частные производные и полный <...>
Теория_функций_нескольких_переменных._Дифференциальное_и_интегральное_исчисление._Учебное_пособие.pdf
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Казанский государственный технологический университет»
Хузиахметова Р.Н., Романова Е.М., Субханкулова Д. Г.
Теория функций нескольких переменных
Дифференциальное и интегральное исчисление
Учебное пособие
Казань
КГТУ
2008
Стр.1
Авторы: доц. Р.Н. Хузиахметова,
доц. Е.М. Романова,
ст. преп. Д.Г. Субханкулова.
Теория функций нескольких переменных. Дифференциальное и
интегральное исчисление: учебное пособие / Р.Н. Хузиахметова,
Е.М. Романова, Д.Г. Субханкулова. – Казань: Изд.- во Казан. гос. технол. ун.-та,
2008, 105 с.
ISBN 978-5-7882-0681-3
Предназначены для студентов всех специальностей бакалаврской подготовки
в качестве руководства к выполнению типовых расчетных работ по темам:
« Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные
интегралы» и «Криволинейные интегралы».
Основная цель работы – привить студентам практические навыки в решении
задач по указанным темам. Содержит краткие теоретические сведения, задачи с
решениями и ответами, задания для самостоятельной работы и 30 вариантов
индивидуальных заданий различной степени сложности.
Подготовлены на кафедре высшей математики.
Печатаются по решению методической комиссии по циклу физикоматематических
дисциплин.
Рецензенты: зав. каф. информатики и прикладной математики КГТУ,
проф. Нуриев Н.К. ,
доцент каф. алгебры КГУ, канд. физ.-мат. наук Альпин Ю.А.
2
Стр.2
Содержание
Глава 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных и его применение к исследованию функций………………… 3
1.1. Область определения функции нескольких переменных………….. 3
1.2. Графическое представление функции нескольких переменных.
Линии и поверхности уровня……………………................................... 4
1.3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных………. 6
1.4. Частные и производные и полный дифференциал функции……….. 7
1.5. Дифференцирование неявной функции……………………………… 8
1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………….. 10
1.7. Производные и дифференциалы высших порядков………………… 12
1.8. Экстремум функции двух переменных…………………………........ 14
1.9. Условный экстремум функции двух переменных. Метод
множителей Лагранжа……………………………………………............ 16
применение…………………………………………………………………… 52
2.1.Двойной интеграл и его вычисление……………………………………. 52
2.2.Двойной интеграл в полярной системе координат……………………. 55
2.3. Геометрический смысл двойного интеграла………………………….. 58
2.4.Физический смысл двойного интеграла……………………………….. 59
2.5.Геометрический и физический смысл тройного интеграла…………… 61
2.6.Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах
и
криволинейные
интегралы
и
их
1.10.Скалярное поле и его характеристики………………………….......... 18
Варианты типовых заданий…………………………………………………. 22
Глава 2. Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
Кратные
координат……………………………………………………………………… 65
2.7. Криволинейный интеграл I рода……………………………………….. 67
2.8. Криволинейный интеграл II рода……………………………………… 69
2.9.Формула Грина………………………………………………………….. 71
2.10.Условие независимости криволинейного интеграла II рода от пути
интегрирования.
дифференциалу……………………………………………………………….. 72
Варианты типовых заданий………………………………………………….. 75
Библиографический список………………………………………………….. 105
Восстановление
функции
по
ее
Стр.106