1 ЗБЫНЕК НАДЕНИК ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ГЕОДЕЗИИ Математическая подготовка к изучению книги В.А. Хеисканена - Г. Морица «Физическая геодезия», 1967 г. перевод с чешского доктора технических наук М.И. Юркиной под редакцией доктора технических наук Е.М. Мазуровой Рекомендовано УМО по образованию в области геодезии и фотограмметрии в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 650300 – «Геодезия» специальностей 300200 – «Астрономогеодезия», 300500 – «Космическая геодезия» Издательство МИИГАиК Москва 2010 2 УДК 528.2 Н 17 Рецензенты: Государственный университет по землеустройству доктор техн. наук В.Н. Баранов МИИГАиК кандидат физ.-мат. наук А.А. Зайцев Н Збынек Наденик Шаровые функции для геодезии: Перевод с чешского М.И. Юркина / Под редакцией Е.М. Мазуровой. <...> Значительное приложение полиномов Лежандра и присоединенных полиномов Лежандра степеней 015n делает учебник хорошим справочником. <...> Уравнение Лапласа в ортогональных криволинейных координатах . <...> Уравнение Лапласа в координатах, которые являются особым случаем эллипсоидальных координат . <...> В то же время теория потенциала является фундаментом курсов гравиметрии и теории фигуры Земли. <...> Применительно к задачам теории потенциала выдающиеся ученые Лежандр, Лаплас и Гаусс создали и разработали теорию шаровых и сферических функций, которая является не только необходимым математическим аппаратом теории потенциала, но также и математической физики вообще. <...> Поскольку Земля имеет произвольную форму, то для описания ее гравитационного потенциала также используют сферические и шаровые функции. <...> Большую роль сферические и шаровые функции играют также в решении краевых задач геодезии. <...> Автор не упускал случай провести доказательство разными путями: например, ортогональность функций2 подтверждена как прямым вычислением, так и с помощью решений 1 Эмиль Бухар (1901-1979) стал профессором астрономии и геофизики <...>
Шаровые_функции_для_геодезии.pdf
1
ЗБЫНЕК НАДЕНИК
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ГЕОДЕЗИИ
Математическая подготовка к изучению книги
В.А. Хеисканена - Г. Морица «Физическая геодезия», 1967 г.
перевод с чешского доктора технических наук М.И. Юркиной
под редакцией доктора технических наук Е.М. Мазуровой
Рекомендовано УМО по образованию в области геодезии и фотограмметрии в
качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки 650300 – «Геодезия»
специальностей 300200 – «Астрономогеодезия»,
300500 – «Космическая геодезия»
Издательство МИИГАиК
Москва 2010
Стр.2
2
УДК 528.2
Н
17
Рецензенты:
Государственный университет по землеустройству
доктор техн. наук В.Н. Баранов
МИИГАиК
кандидат физ.-мат. наук А.А. Зайцев
Н
Збынек Наденик
Шаровые функции для геодезии: Перевод с чешского М.И. Юркина /
Под редакцией Е.М. Мазуровой. – М.: Изд-во МИИГАиК, 2010. – 157 с.: ил.
ISBN 978-5-91188-023-1
Физическая геодезия неразрывно связана с изучением теории потенциала, в которой
широкое применение нашли, так называемые, шаровые и сферические функции.
В доступной и ясной форме излагаются основы теории сферических и шаровых
функций и использование их при разложении потенциала силы тяжести в ряды по
сферическим или шаровым функциям. Логика изложения обусловлена желанием автора
опираться только на те сведения из математического анализа, которые известны
студентам 3-го курса технических специальностей. Значительное приложение полиномов
Лежандра и присоединенных полиномов Лежандра степеней 015n
делает
учебник хорошим справочником.
Для студентов геодезических специальностей, магистров и аспирантов, инженеров,
занимающихся изучением теории фигуры Земли, других небесных тел и их
внешнего гравитационного поля.
УДК 528.2
ISBN 978-5-91188-023-1
© Издательство МИИГАиК, 2010
ISBN 80-85881-15-2 Zdiby, Praha-východ, 2000 © Оформление обложки МИИГАиК, 2010
Стр.3
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА ..................................................................................5
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ ................................................................................6
Введение .........................................................................................................................................6
О содержании ................................................................................................................................6
Историческое примечание ............................................................................................................8
Литература ...................................................................................................................................12
ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ .....................................................................................................................22
1. Основная мотивация ..............................................................................................................22
2. Ортогональные системы в геодезии ......................................................................................26
3. Плоский случай .......................................................................................................................29
ГЛАВА II. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА ..........................................................................................34
1. Определение и основные свойства ........................................................................................34
2. Ортогональность полиномов Лежандра ................................................................................39
3. Норма полинома Лежандра ....................................................................................................41
4. Дифференциальное уравнение Лежандра .............................................................................42
5. Ортогональность (продолжение) ...........................................................................................44
6. Производящая функция полиномов Лежандра.....................................................................48
7. Комментарий к разложению функции в ряды по полиномам Лежандра ...........................50
8. Функции Лежандра второго рода ..........................................................................................54
ГЛАВА III. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА .....................................................58
1. Определение и основные свойства ........................................................................................58
2. Ортогональность и норма .......................................................................................................60
3. Обобщенное дифференциальное уравнение Лежандра ......................................................63
ГЛАВА IV. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ......................................................................................65
1. Определение и классификация ..............................................................................................65
2. Ортогональность сферических функций ..............................................................................68
3. Норма. Ряд и коэффициенты Фурье ......................................................................................71
4. Теорема сложения ...................................................................................................................73
ГЛАВА V. ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ ................................................................................................79
1. Уравнение Лапласа в прямоугольных координатах .............................................................79
2. Шаровые функции как решение уравнения Лапласа ...........................................................83
3. Оператор Лапласа в сферических (пространственных полярных) координатах ..............91
4. Шаровые функции как решения уравнения Лапласа – развитие идеи...............................94
5. Общий вид шаровой функции ................................................................................................98
6. Формула Грина. Ортогональность .......................................................................................102
7. Уравнение Лапласа в ортогональных криволинейных координатах ................................106
8. Уравнение Лапласа в координатах, которые являются особым случаем
эллипсоидальных координат ................................................................................................112
ДОПОЛНЕНИЕ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ............................................119
Стр.4
4
А. Подготовка – рекуррентные соотношения .........................................................................119
В. Собственно доказательство .................................................................................................123
ПРИЛОЖЕНИЕ ..............................................................................................................................132
ЛИТЕРАТУРА .................................................................................................................................140
ПОСЛЕСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА ..............................................................................................145
ЛИТЕРАТУРА .............................................................................................................................150
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ..........................................................................................................153
Стр.5