Мы уже писали, что конечные коммутативные группы впервые фактически рассматривал Гаусс. <...> И обратно, любая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе преобразований. <...> Ненулевой (соответственно, собственный) подмодуль модуля M называется минимальным (соответственно, максимальным), если он является минимальным (соответственно, максимальным) элементом в решетке всех подмодулей модуля M. <...> В литературе (в отличие от вышеприведенного соглашения) часто под «собственной» подгруппой группы G понимается «нетривиальная» (= e,G) подгруппа. <...> Zn — группа или кольцо вычетов по модулю n, так же обозначается любая циклическая группа порядка n; Zp (или Fp) — поле из p элементов; p-группа; Z[i] = {m+ni |m,n ∈ Z}—кольцо целых гауссовых чисел; P(M) или 2M —множество всех подмножеств множества M. <...> End A — кольцо эндоморфизмов абелевой группы A. <...> A или Am) — прямая сумма (прямое произведение) m изоморфных копий абелевой группы или модуля A, m i=1 Ri) — прямая сумма или произведение колец R1, . . . ,Rm. <...> Ext (C,A), Pext (C,A) — группа расширений, соответственно, группа чистых расширений абелевой группы A при помощи абелевой группы C. <...> MultA — группа кольцевых умножений на абелевой группе A. <...> 13 14 Решетки Отображение f : M → M частично упорядоченных множеств называется изотонным (монотонным), если для любых a, b ∈ M из a b следует, что fa fb (термин «порядковый гомоморфизм» в данной книге используется, в основном, для упорядоченных групп). <...> Дедекиндовыми являются решетки нормальных подгрупп произвольной группы, идеалов кольца, подмодулей модуля. <...> Гомоморфизм ϕ: M → L решеток, являющийся биекцией, называется изоморфизмом (это эквивалентно тому, что ϕ — изоморфизм частично упорядоченных множеств M и L). <...> Группоид с левым и правым сокращением называется группоидом с сокращением. <...> Группоид S называется простым слева (справа), если S является его единственным левым (правым) идеалом. <...> Группоид S называется простым, если S не содержит (двусторонних) идеалов, отличных от S. <...> Если A — непустое <...>
Задачи_и_упражнения_по_основам_общей_алгебры.pdf
П.А. Крылов
А.А. Туганбаев
А.Р. Чехлов
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
ПО ОСНОВАМ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ
Учебное пособие
Рекомендовано НМС по математике и механике УМО по
классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся
по группе математических и механических специальностей
2-е издание, стереотипное
Москва
Издательство «ФЛИНТА»
2017
Стр.1
УДК 512.5
ББК 22.144
К85
Крылов П.А.
К85 Задачи и упражнения по основам общей алгебры [Электронный ресурс] :
учеб. пособие / П.А. Крылов, А.А. Туганбаев, А.Р. Чехлов. — 2-е изд.,
стер. — М. : Флинта, 2017. — 208 с.
ISBN 978-5-9765-1507-9
В форме задач книга содержит основы таких важнейших разделов современной
алгебры как группы, кольца и модули, решетки, полугруппы, поля.
Книга будет полезна на занятиях со студентами физико-математических
факультетов университетов, в том числе при чтении спецкурсов, и в процессе
руководства магистрантами и аспирантами. Ее можно также использовать в
качестве справочника.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников,
интересующихся алгеброй.
УДК 512.5
ББК 22.144
ISBN978-5-9765-1507-9
© Издательство "ФЛИНТА", 2017
Стр.2
3
Оглавление
Предисловие.......................................................................................6
Введение. .........................................................................................6
Предварительные сведения..................................................................9
Список обозначений и терминов.........................................................10
Глава I. Решетки и полугруппы. ......................................................13
1. Решетки...................................................................................13
2. Полугруппы. ............................................................................20
Глава II. Группы.............................................................................27
3. Группы. Порождающие множества групп. .....................................27
4. Изоморфизмы групп. Смежные классы..........................................32
5. Гомоморфизмы. Факторгруппы. ..................................................35
6. Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы. ....38
7. Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотеннтные группы. ..................45
8. Автоморфизмы и эндоморфизмы. ................................................49
9. Упорядоченные группы..............................................................53
10. Действия групп на множествах. Представления групп. ...................57
Глава III. Кольца..............................................................................64
11. Общие свойства колец...............................................................64
12. Факторкольца и гомоморфизмы. .................................................70
13. Специальные идеалы.................................................................77
14. Разложение на простые множители. ...........................................83
Глава IV. Модули...........................................................................87
15. Основные понятия теории модулей............................................87
16. Лкальные, нетеровы и артиновы модули. ....................................96
17. Проективные и инъективные модули........................................100
18. Тензорное произведение, плоские и регулярные модули. .............106
Стр.3
4
Глава V. Абелевы группы.........................................................................................112
19. Основные понятия теории абелевых групп...........................................................112
20. Чистота и чистая инъективность.........................................................................119
21. Группы гомоморфизмов. ..................................................................................123
22. Группы расширений. Тензорные и периодические произведения.............................127
23. p-группы. ......................................................................................................133
24. Группы без кручения. ......................................................................................136
25. Смешанные группы..........................................................................................140
26. Кольца эндоморфизмов.....................................................................................143
27. Аддитивные группы колец................................................................................147
Глава VI. Поля. ......................................................................................................150
28. Простейшие свойства полей. ............................................................................150
29. Поля разложения.............................................................................................154
30. Конечные поля...............................................................................................158
31. Начала теории Галуа. ......................................................................................161
Глава VII. Ответы и указания...................................................................................165
1. Решетки..........................................................................................................165
2. Полугруппы.....................................................................................................165
3. Группы. Порождающие множества групп..............................................................166
4. Изоморфизмы групп. Смежные классы.................................................................167
5. Гомоморфизмы. Факторгруппы...........................................................................167
6. Центр и коммутант. Прямые произведения. Силовские подгруппы. ...........................168
7. Ряды подгрупп. Разрешимые и нильпотентные группы............................................169
8. Автоморфизмы и эндоморфизмы. .......................................................................170
9. Упорядоченные группы.....................................................................................171
10. Действия групп на множествах. Представления групп. ..........................................172
11. Общие свойства колец.....................................................................................175
12. Факторгруппы и гомоморфизмы. ......................................................................176
13. Специальные идеалы.......................................................................................176
Стр.4
5
14. Разложение на простые множества.....................................................................178
15. Основные понятия теории модулей. ...................................................................179
16. Локальные, нетеровы и артиновы модули............................................................183
17. Проективные и инъективные модули. .................................................................184
18. Тензорное произведение, плоские и регулярные модули. .......................................187
19. Основные понятия теории абелевых групп. .........................................................189
20. Чистота и чистая инъективность........................................................................191
21. Группы гомоморфизмов...................................................................................192
22. Группы расширений. Тензорные и периодические произведения. ............................193
23. p-группы.......................................................................................................195
24. Группы без кручения.......................................................................................195
25. Смешанные группы. .......................................................................................196
26. Кольца эндоморфизмов. ..................................................................................196
27. Аддитивные группы колец. ..............................................................................197
28. Простейшие свойства полей. ............................................................................198
29. Поля разложения. ...........................................................................................199
30. Конечные поля...............................................................................................200
31. Начала теории Галуа. ......................................................................................201
Литература...............................................................................................................203
Предметный указатель...............................................................................................205
Стр.5