Ю.М. Протасов ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ Ю.М. <...> Протасов Линейная алгебра и аналитическая геометрия РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЛИАЛ В Г. ФРЯЗИНО Ю.М. <...> Векторы и линейные операции над ними . <...> Собственные векторы и собственные значения линейного оператора . <...> Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду . <...> Метод Гомори представлен как метод целочисленного программирования. <...> Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю строк равно числу столбцов и равно n. <...> Квадратная матрица А называется симметрической, если Ат − А. <...> Разложим определитель исходной 14 матрицы |А| по элементам i-й строки, а определитель матрицы с переставленными строками A A % = – |А|. <...> Пусть для определенности элементы первой строки имеют общий множитель λ. <...> Разложения будут отличаться только знаком, так как каждое алгебраическое дополнение будет иметь противоположный знак, поэтому λ λ λ λ λλ λλ 6) Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. <...> Обратная матрица делитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае. <...> Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы): Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная, т.е. |А| ≠ 0. <...> Надо доказать, что в этом случае существует такая обратная матрица А-1 А-1 , что А = АА-1 = Е. <...> Квадратная матрица называется невырожденной, если ее опреназывается обратной для квадратной матрицы А, Тогда элементы произведения матриц A правилу умножения матриц: 11 baa A a== = ss ij ∑∑ nn is sj si sj B =⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ A ⎛⎞ ⎜⎟ A 0 A . <...> Обратная матрица позволяет найти решение следующих матричных уравнений: АХ=С, ХВ = С, АХВ = С. <...> Ранг матрицы А обозначается r (A) или rang (A). <...> Из этого определения следует: а) ранг матрицы АmЧn ров; б) r (A) = 0 только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = 0; в) для квадратной <...>
Линейная_алгебра_и_аналитическая_геометрия_(2).pdf
УДК 517.91(042.4)
ББК 22.143:151.5я73
П83
П83
Протасов Ю.М.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия : Курс
лекций для студентов заочного отделения / Ю.М. Протасов. —
3-е изд., стер. — Москва : ФЛИНТА, 2024. — 166 с. —
ISBN 978-5-9765-0956-6. — Текст : электронный.
Курс лекций отражает основное содержание первого
раздела общенаучной дисциплины «Математика», являющейся
федеральным компонентом Государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по
специальностям «Экономика» и «Управление». Курс включает
материал по линейной алгебре и аналитической геометрии.
Предназначен для оказания помощи студентам в
обобщении и конкретизации знаний по данной дисциплине,
закреплении изученного материала и подготовке к сдаче экзамена.
УДК 517.91(042.4)
ББК 22.143:151.5я73
ISBN 978-5-9765-0956-6
© Протасов Ю.М., 2021
© Издательство «ФЛИНТА» , 2021
Стр.2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .............................................................................................6
Лекция 1. МАТРИЦЫ ....................................................................................7
1.1. Виды матриц ..........................................................................................7
1.2. Операции над матрицами .....................................................................8
1.3. Матричная форма записи системы линейных уравнений ...............10
Лекция 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ ......................12
2.1. Общие сведения об определителях ...................................................12
2.2. Свойства определителей .....................................................................14
2.3. Обратная матрица ................................................................................18
Лекция 3. РАНГ МАТРИЦЫ .......................................................................21
3.1. Определение ранга матрицы ..............................................................21
3.2. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы ..........................23
3.3. Теорема о ранге матрицы....................................................................24
Лекция 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ...........................................................................................27
4.1. Основные понятия и теоремы ............................................................27
4.2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений ....30
4.3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений .........36
Лекция 5. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА .............................................41
5.1. Векторы и линейные операции над ними .........................................41
5.2. Линейная независимость векторов ....................................................42
5.3. Линейное пространство и его базис ..................................................43
5.4. Переход к новому базису ....................................................................46
5.5. Евклидово пространство ....................................................................48
5.6. Ортогонализация базиса евклидова пространства ...........................51
5.7. Деление вектора в заданном отношении ...........................................53
Лекция 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ ....................................................................................................55
6.1. Линейные операторы ..........................................................................55
6.2. Собственные векторы и собственные значения линейного
оператора ..............................................................................................58
6.3. Квадратичные формы ..........................................................................62
3
Стр.3
Лекция 7. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ ...................................................................................68
7.1. Уравнения прямой ...............................................................................68
7.2. Кривые второго порядка .....................................................................72
7.3. Приведение уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду .........................................................................76
Лекция 8. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ ................................................................................81
8.1. Уравнения плоскости ..........................................................................81
8.2. Прямая в пространстве .......................................................................84
8.3. Вычисление углов ...............................................................................88
Лекция 9. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ......................................................90
9.1. Арифметические операции над комплексными числами ................90
9.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного
числа .....................................................................................................92
Лекция 10. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ЗЛП) ...........................................................96
10.1. Математическая модель ЗЛП ...........................................................96
10.2. Примеры составления математических моделей
экономических задач .........................................................................97
10.3. Формы записи ЗЛП .........................................................................101
Лекция 11. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДОВ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ........................................107
11.1. Выпуклые множества в n-мерном пространстве ..........................107
11.2. Свойства ЗЛП ...................................................................................111
Лекция 12. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ....................................................................117
12.1. Графический метод решения ЗЛП .................................................117
12.2. Симплекс-метод решения ЗЛП .......................................................121
Лекция 13. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ (ДЗЛП) ......................................................132
13.1. Формулировка и правила составления ДЗЛП ...............................132
13.2. Теоремы двойственности ................................................................134
13.3. Экономическая интерпретация решения ДЗЛП ...........................137
4
Стр.4
Лекция 14. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА (ТЗ) .........................................141
14.1. Формулировка ТЗ ...........................................................................141
14.2. Этапы решения ТЗ ...........................................................................143
14.3. Применение транспортной модели к решению экономических
задач ..................................................................................................148
Лекция 15. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ..............155
15.1. Постановка задачи целочисленного программирования .............155
15.2. Метод Гомори ..................................................................................156
15.3. Задача о ранце ..................................................................................158
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................164
Стр.5