Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет Ю. Я. Белов, Р. В. Сорокин, И. В. Фроленков АППРОКСИМАЦИЯ И КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДопущеноУМОпо классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 010100 «Математика» и 010200 «Математика и компьютерные науки», 28.12.2010 г. Красноярск СФУ 2012 УДК 517(07) ББК 22.161я73 Б435 Рецензент—В. М. Садовский, д-р физ.-мат. наук, проф. зам. директора Института вычислительного моделирования СО РАН Белов, Ю. <...> Б435 Аппроксимация и корректность краевых задач для дифференциальных уравнений : учеб. пособие / Ю. Я. Белов, Р. В. Сорокин, И. В. Фроленков. <...> Принцип максимума и априорные оценки первых производных для параболического уравнения второго порядка . <...> Эволюционные системы уравнений первого порядка с малым параметром при производной по времени . <...> Аппроксимация полуэволюциионных систем уравнений первого порядка эволюционными . <...> Эволюционные системы уравнений второго порядка с малым параметром при старшей производной . <...> Разрешимость обратных задач в классах гладких функций. <...> Задача идентификации функции источника многомерного параболического уравнения . <...> Задача идентификации коэффициента при младшем члене многомерного параболического уравнения . <...> Задача идентификации коэффициентов при производной по времени и нелинейном выражении двумерного параболического уравнения . <...> Разрешимость первой и второй краевых задач идентификации коэффициента при младшем члене многомерного параболического уравнения . <...> Задача идентификации функции источника в случае неизвестного коэффициента, зависящего от времени . <...> Для достаточно общих систем уравнений в частных производных в случае данных Коши сформулированы теоремы сходимости решений расщепленых задач к решению исходной системы при стремлении параметра расщепления <...>
Аппроксимация_и_корректность_краевых_задач_для_дифференциальных_уравнений.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Сибирский федеральный университет
Ю. Я. Белов, Р. В. Сорокин, И. В. Фроленков
АППРОКСИМАЦИЯ
И КОРРЕКТНОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ДопущеноУМОпо классическому университетскому образованию в
качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки 010100 «Математика» и
010200 «Математика и компьютерные науки», 28.12.2010 г.
Красноярск
СФУ
2012
Стр.2
УДК 517(07)
ББК 22.161я73
Б435
Рецензент—В. М. Садовский, д-р физ.-мат. наук, проф. зам.
директора Института вычислительного моделирования СО РАН
Белов, Ю.Я.
Б435
Аппроксимация и корректность краевых задач для дифференциальных
уравнений : учеб. пособие / Ю. Я. Белов, Р. В. Сорокин,
И. В. Фроленков. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2012. – 172 с.
ISBN 978-5-7638-2499-5
Учебное пособие посвящено изучению вопросов корректности и аппроксимации
некоторых классов краевых задач для дифференциальных уравнений. Рассматриваются
постановки прямых и обратных задач для уравнений в частных
производных. Исследуются дифференциальные свойства решений и их поведение
при больших значениях времени.
Предназначено для студентов направлений подготовки 010100 «Математика»,
010200 «Математика и компьютерные науки», 010400 «Прикладная математика
и информатика».
УДК 517(07)
ББК 22.161я73
ISBN 978-5-7638-2499-5
-Сибирский федеральный университет, 2012
c
Стр.3
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Вспомогательные утверждения
5
7
1.1. Неравенства. Функциональные пространства . . . . . . . . . . 7
1.2. Линейное уравнение в частных производных первого порядка . 10
1.3. Принцип максимума и априорные оценки первых производных
для параболического уравнения второго порядка . . . . . 11
Глава 2. Метод слабой аппроксимации
16
2.1. Понятие метода слабой аппроксимации . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Общая формулировка метода слабой аппроксимации . . . . . 19
2.3. Теорема сходимости метода слабой аппроксимации . . . . . . 21
2.4. Линейное уравнение в частных производных . . . . . . . . . . 24
2.5. Задача Коши для уравнения Бюргерса . . . . . . . . . . . . . . 30
Глава 3. Метод ε-аппроксимации
40
3.1. Эволюционные системы уравнений первого порядка с малым
параметром при производной по времени . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Аппроксимация полуэволюциионных систем уравнений первого
порядка эволюционными . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3. Эволюционные системы уравнений второго порядка с малым
параметром при старшей производной . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. Аппроксимация полуэволюционных систем уравнений
второго порядка эволюционными . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5. Аппроксимация параболических уравнений гиперболическими 59
3.6. Некоторые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7. Линейная стационарная задача динамики океана . . . . . . . . 67
Глава 4. Разрешимость обратных задач в классах гладких
функций. Задача Коши
80
4.1. Обратные задачи математической физики . . . . . . . . . . . . 80
4.2. Задача идентификации функции источника многомерного параболического
уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3. Задача идентификации коэффициента при младшем члене многомерного
параболического уравнения . . . . . . . . . . . . . . 97
3
Стр.4
4.4. Задача идентификации коэффициентов при производной по
времени и нелинейном выражении двумерного
параболического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Глава 5. Краевые задачи идентификации входных данных
117
5.1. Разрешимость первой и второй краевых задач идентификации
коэффициента при младшем члене многомерного
параболического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2. Задача идентификации функции источника. Интегральное переопределение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3. Задача идентификации функции источника.
Финальное переопределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4. Задача идентификации функции источника в случае неизвестного
коэффициента, зависящего от времени . . . . . . . . . . . 134
Глава 6. Стабилизация и устойчивость решения
137
6.1. Поведение при t→+∞решения задачи идентификации функции
источника в уравнениии теплопроводности . . . . . . . . . 137
6.2. Оценка устойчивости решения задачи идентификации
функции источника по входным данным . . . . . . . . . . . . . 151
Заключение
Библиографический список
163
164
4
Стр.5