ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ДИФФЕРЕНЦИРОВAНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Методическое пособие для вузов Составители: Т.К. Кацаран, Л.Н. Строева Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2009 Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 30 ноября 2009 г., протокол № 3 Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой математического прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики А.И. Шашкин, канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятности Ю.Б. Савченко Методическое пособие подготовлено на кафедре нелинейных колебаний факультета прикладной математики, информатики и механики и кафедре прикладной математики и естественно-научных дисциплин Лискинского филиала Воронежского государственного университета. <...> В нем нашли отражение основные понятия и теоремы раздела «Дифференцирование функций многих переменных». <...> Однако для решения задач, которые приводятся в последнем пункте каждого параграфа часто достаточно понимания сути теоремы или формулы. <...> Назначение последних пунктов каждого параграфа определено их названием. <...> Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторой буквой, например f , и пишут uf x или, подробнее, uf x x x 12 = (; ;.; ),n ( 12; ;.; ) .∈n x xx E симыми переменными, функцию uf x x x – функцией n переменных. <...> 5 которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций и композиций элементарных функций одного переменного x in, называют элементарной i , = 1, 2, ., x и обозначают 0 x = ( 12; ;.; )n x xx x , на0 0 f() или Множество E называют областью определения функции, точку x – аргументом, или независимой переменной, ее координаты 12 = ( 12; ;.; ),n x , ,., n xx – незави= (), x∈ ,E (1.3) вводится по(1.1) (1.2) λ λ λλ λ ρ ρ ρ Графиком функции двух переменных <...>
Дифференцирование_функций_нескольких_переменных.pdf
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ДИФФЕРЕНЦИРОВAНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методическое пособие для вузов
Составители:
Т.К. Кацаран,
Л.Н. Строева
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2009
Стр.1
Содержание
Введение……………………………………………………………… 4
§ 1 Предел и непрерывность функций многих переменных………….. 5
1.1 Основные понятия……………………………………………….. 5
1.2 Примеры с решениями…………………………………………... 7
1.3 Задания к выполнению курсовой работы………………………. 9
§ 2 Производные и дифференциалы первого порядка………………… 11
2.1 Определение частных производных……………………………. 11
2.2 Частные производные и дифференциал сложной функции…... 12
2.3 Производная по направлению и градиент……………………… 13
2.4 Дифференцирование неявных функций………………………... 14
2.5 Замена переменных……………………………………………… 15
2.6 Примеры с решениями…………………………………………... 16
2.7 Задания к выполнению курсовой работы………………………. 19
§ 3 Производные и дифференциалы высших порядков……………….. 24
3.1 Частные производные высших порядков………………………. 24
3.2 Дифференциалы высших порядков…………………………….. 25
3.3 Формула Тейлора и ряд Тейлора……………………………….. 26
3.4 Примеры с решениями…………………………………………... 26
3.5 Задания к выполнению курсовой работы………………………. 28
§ 4 Экстремумы функций многих переменных………………………... 31
4.1 Локальный экстремум. Основные понятия…………………….. 31
4.2 Необходимые и достаточные условия экстремума……………. 31
4.3 Применение критерия Сильвестра…..………………………….. 32
4.4 Условный экстремум (постановка задачи).……………………. 33
4.5 Прямой метод нахождения точек условного экстремума…….. 33
4.6 Метод Лагранжа нахождения точек условного экстремума….. 34
4.7 Примеры с решениями…………………………………………... 35
4.8 Задания к выполнению курсовой работы………………………. 37
Список используемой литературы………………………………………... 39
3
Стр.3
Графиком функции двух переменных uf x y ,
зывают множество всех точек вида (; ; (; ))
ства 3
R.
функции ux y , (; ) R∈xy
=+
4
Например, из курса аналитической геометрии известно, что графиком
22
2
, является эллиптический гиперболоид.
Аналогичным образом можно определить понятие графика функции трех и
более переменных.
Определение (Гейне). Число a называют пределом функции ()f x в
точке 0
сходящейся к 0
x , достаточно указать две последовательности точек:
mn 0
0
≠ lim ( ) .
m→∞ f y
точке 0
yU x , () 0
()
()∈ () x
m
m ≠ x , () 0
yx , сходящиеся к 0
m ≠
x , если для любой последовательности точек ()
()
x , числовая последовательность f x
()
m
x Ux , () 0
сходится к a .
mn 0
∈ () x
x , такие, что lim ( )
x Ux и
m ≠
()∈ ()
()
m→∞ fx
Определение (Коши). Число a называют пределом функции ()f x в
x ∈Rn
, если для каждого числа
fx a
uf x y двух переменных в точке 00
= (; )
xx
yy
→
→
lim ( ; )
0
0
Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе
суммы, разности, произведения и частного функций, аналогичные соответствующим
теоремам для функций одного переменного.
Для функций
мых повторных пределов. В частности, в случае функции двух переменных
= (; )
uf x y можно рассматривать два повторных предела в точке 00
lim( lim ( ; ))→→ f xy и yy x
xx y y
00
lim(lim ( ; ))→→ f xy .
00
x
ют непрерывной в точке 0
Функцию ()f x , определенную в окрестности точки 0
0
x , если li→m ( ) =
0
xx f xf x .
( )
6
x ∈Rn
, называ(;
)
n > 1 переменных можно рассматривать !n так называеx
y :
f xy .
обозначают
что для всех x , удовлетворяющих условию 0( ;xx <
неравенство
<
)
() − <
.
Определения Коши и Гейне равносильны.
Предел функции
(; )
x y обычно
> 0 существует такое число
0
, выполняется
m ≠ x ,
Для того чтобы доказать, что функция ()f x не имеет предела в точке
mn 0
= (; ) (, ) R∈⊂xy E
2
, наx
yf x y , где (; )∈x yE, простран>
0,
δ
δ
ρ
ε
ε
Стр.6
1.2. Примеры с решениями.
Пример 1.1. Найти
lim
x
y
> 0 существует
→
→
0 22
0
x + y .
x y
2
Решение. Воспользуемся определением Коши. Для любого числа
> 0 (а именно =
удовлетворяющих условию 22
справедливо неравенство
xy
22 22−= ≤ ≤ + <
xy xy
++
xy
0
Следовательно, lim
x
y
→
→
0 22
0
xy .
xy
2
+ = 0
Пример 1.2. Показать, что предел функции fx y
()x
() ()
чем ()
mm;
x
y
(; ) = +
xy
x
2
24
y в точке
(0;0) не существует.
Решение. Воспользуемся определением предела Гейне. Пусть
m →0, ()
y
– последовательность точек, лежащих на параболе x = y , приm
→0 при →∞m
2
. Тогда
mm mm
lim ;fx y () (yy )
) (
mm)
(
yy
+
→∞
x
y
() ( )mm = lim
→∞
Далее, пусть (;mm
() ()
мой =x y , причем ()
x
() (
mm mmm →∞
→∞
lim
→∞ 24 lim
mm)
== =
++
() ()
yy y
mm
()
()
() () 2
)
подтверждают, что предел функции fx y
ствует.
liml→→im ( , )
yx
00 f xy , где fx y
(, 34)
= +
−
x y и показать, что они различны.
y
7
(; ) = +
xy
x
24
()
m
)
1 ()
m
() 2
→0
m
, ()
y
→0
m
lim ;fx y () (yy y
)(
() 22
(() ) ()
()
()24 2.
2
=
1
(1.4)
) – последовательность точек, лежащих на пряпри
→∞m
. В этом случае
(
0.
(1.5)
Полученные результаты (1.4) и (1.5), согласно определению Гейне,
2
y в точке (0;0) не сущеПример
1.3. Вычислить повторные пределы
x
limlxyim ( , )→→ f xy и
00
x yy x y
22
22
.
+ <
) такое, что для всех точек (; )x y ,
и отличных от начала координат,
ε
δ
ε
δ
δ
ε
Стр.7
Решение. Действительно
00
li 34 3
xy
→→
mlim
x→0
xy x
xy x
+ ==−
ux xy если xy
22
(, )
y
в точке (0; )0 : 1) непрерывной по x ; 2) непрерывной по y ; 3) непрерывной.
xy
= ⎪ +⎨
⎪
⎩
⎧
Решение. 220
lim
x→ xy
lim
x
y
→
→
0 22
0
лежащих на прямой ykx= , k ≠ 0 , ()
kx )
x
mm m)
lim
→∞
xk x
+
При произвольных значениях k (0
() () 1
2 (
()22 2+ ≠ 0.
(
=
k
m
x + y не существует, так как для последовательности точек (x
m →0, ()
xy
y
() 2
m →0 при →∞m
k
,
(1.6)
ные значения, отличные от нуля. Последнее означает, что исследуемая
функция не является непрерывной в точке (
переменной x и переменной y в этой точке.
Пример 1.5. Найти значения a и b, при которых функция
22
uxy x y=+ −) 4 (− x y ) , если14
если +≥4
(, ) 5(
,
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⎧axy =1
⎪
,
22 22 2
+
если
+
bxy
≤ x y <
22
22
+
является непрерывной на своей области определения.
Решение. Областью определения функции (; )uxy является множество
точек (; )∈x yR , описываемых неравенством 22
2
следующие пределы
xy 1
22
xy 4
22
lim 5(xy xy ;
+→
22 22 2
) 4 (
lim 5(xy xy .
+→
+ −− + =) 0
22 2
Из полученных результатов следует, что ab 0.
8
+ −− + =) 0
= =
) 4 (
2
2
14
≤ +≤
xy . Вычислим
k ≠ ) выражение (1.6) принимает различ0;
)0 и является непрерывной по
+ = 0;
lim0 22
xy
y→ xy
+ = 0.
() ()
mm;
y
),
0,
если xy 0
+=
lim 3;
li 34 4
→→
00
y→0
Пример 1.4. Выяснить, является ли функция
xy
22,0
22
+ ≠
yx −− =−
mlim
xy y
xy y
+ = lim 4.
Стр.8