МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ"
Р.Х. Вахитов, Е.В. Вахитова
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ
АЛГЕБРА
Часть III
Алгебра многочленов
Учебно-методическое пособие для вузов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Стр.1
Введение
Содержание данного учебно-методического пособия "Фундаментальная
и компьютерная алгебра. Часть III. Алгебра многочленов"
составляет материал нескольких тем базовой учебной дисциплины
профессионального цикла "Фундаментальная и компьютерная
алгебра", изучение которой предусмотрено основной образовательной
программой подготовки бакалавра по направлению
"Математика и компьютерные науки" для студентов факультета
компьютерных наук ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный
университет". Целью учебной дисциплины является формирование
представлений о фундаментальной алгебре: структуры
алгебры, линейная алгебра, алгебра многочленов и о компьютерной
алгебре. Основными задачами учебной дисциплины являются
овладение фундаментальными базовыми знаниями в области
фундаментальной и компьютерной алгебры, умением формулировать
и доказывать теоремы, самостоятельно решать классические
задачи фундаментальной алгебры.
Цель учебно-методического пособия состоит в том, чтобы помочь
студентам, изучающим учебную дисциплину "Фундаментальная
и компьютерная алгебра", формировать представление
об алгебре многочленов, приобрести навыки и умения практического
использования математических методов при решении задач.
В результате изучения учебной дисциплины студент должен знать
теоретический материал и уметь формулировать результат, строго
доказывать утверждение, грамотно пользоваться языком фундаментальной
и компьютерной алгебры.
Учебно-методическое пособие состоит из пяти глав. В конце
каждой главы приведены вопросы для самоконтроля и упражнения
для самостоятельной работы. Определения, теоремы и их доказательства
иллюстрируются численными примерами, цель которых
– пояснить общую теорию.
В каждой главе определения, формулы и теоремы имеют независимую
нумерацию.
В первой главе рассмотрены следующие вопросы: простое транс3
Стр.3
Если K1[α] – простое трансцендентное расширение кольца K1
с помощью элемента α, то K1[α] называют также кольцом многочленов
от α над K1, а элементы кольца K1 – многочленами
от α над K1 или многочленами над K1.
Пример. K1 := Z, α = √2,
K2 := m+n√2 |m,n ∈ Z .
По определению 2 получим, что K2 = K1[α].
Теорема 1. Для каждого ассоциативного и коммутативного
кольца с единицей существует простое трансцендентное расширение
кольца с помощью элемента α.
В дальнейшем для удобства переобозначим многочлен a на
f, коэффициенты многочлена γ0, ..., γn на a0, ..., an и элемент
α на x и будем записывать
f ∈ K[x], f = anxn +...+a1x+a0, a0, a1, ..., an ∈ K.
§ 2. Степень многочлена
Пусть K – ненулевое ассоциативнoе и коммутативное кольцо,
K[x] – простое трансцендентное расширение кольца K с помощью
элемента x, то есть кольцо многочленов от x над K.
Из определения простого трансцендентного расширения кольца
с помощью элемента следует, что всякий элемент из K[x] можно
единственным образом представить в виде суммы степеней x с
коэффициентами из K (это можно доказать от противного): если
(γ0, γ1, ..., γn) = (β0,β1, ...βn),
то из равенства
γnxn +γn−1xn−1 +...+γ0 = βnxn +βn−1xn−1 +...+β0
6
Стр.6
получим, что γn = βn, γn−1 = βn−1, ..., γ0 = β0.
Определение 3. Число n называется степенью многочлена
f, если f = anxn + an−1xn−1 + ... + a0, где an = 0, a n –
натуральное число или 0.
гочлена f, an – старший коэффициент.
Если an = 1, где 1 – единица кольца K, то многочлен f
Элементы an, an−1, ..., a0 называются коэффициентами мноназывается
нормированным многочленом.
Обозначение степени многочлена: n = deg f. Если f = a0,
a0 = 0, то deg f = 0. Если f = a0, a0 = 0, то cтепень многочлена
не определена. Итак, будем считать, что степень нулевого
многочлена не определена.
Отметим некоторые свойства степеней многочленов. Пусть f
и g – ненулевые многочлены, а K – ассоциативнoе и коммутативное
кольцо.
1) deg (f +g) ≤ max(deg f, deg g);
2) deg (f · g) ≤ deg f +deg g;
3) Если кольцо K – область целостности, то
deg (f · g) = deg f +deg g.
§ 3. Деление многочлена на двучлен x−c
Пусть K – ненулевое ассоциативнoе и коммутативное кольцо,
K[x] – простое трансцендентное расширение кольца K с помощью
элемента x, то есть кольцо многочленов от x над K.
f ∈ K[x], f = anxn +an−1xn−1 +...+a0,
an, an−1, ..., a0 ∈ K.
7
Стр.7
Для c ∈ K значением многочлена f от аргумента x будет
f(c) = an cn +an−1 cn−1 + ... +a0.
Теорема 2 (Безу). Остаток от деления многочлена f из
K[x], где K – ассоциативнoе и коммутативное кольцо, на двучлен
x−c, где c ∈ K, равен f(c), то есть
∃q ∈ K[x]
f = (x−c) · q +f(c)
.
Доказательство. Рассмотрим отдельно два случая.
1) f = 0, 2) f = 0.
в этом случае q = 0, f(c) = 0.
2) f = 0. f = ancn +an−1cn−1 +...+a0. Для c ∈ K имеем
f(c) = an cn +an−1 cn−1 + ... +a0.
Тогда
f −f(c) = an(xn −cn)+an−1(xn−1 −cn−1)+...+a1(x−c).
Применим теперь тождество:
an −bn = (a−b)(an−1 +b an−2 +...+bn−2 a+bn−1), n ∈ N.
Тогда получим, что
f −f(c) = an(x−c)(xn−1 +cxn−2 +...+cn−2 x+cn−1)+...
...+a2(x−c)(x+c)+a1(x−c),
следовательно,
f −f(c) = (x−c) · q, q ∈ K, deg q = n−1.
Таким образом, получим, что f = (x−c) · q,+f(c).
Теорема 2 доказана.
8
1) f = 0. Тогда f(c) = 0, f = (x−c) · 0+0, следовательно,
Стр.8