-
-
-
«
»
..
-
-
-
2012
Стр.1
Содержание
1 Введение
2 Бескоалиционные игры
3 Равновесие по Нэшу
4 Оптимальность по Парето
5 Смешанное расширение бескоалиционной игры
4
6
8
11
15
3
Стр.3
2. Бескоалиционные игры
Пусть заданы непустые множества Xi, где i =1, . .., n. Рассмотрим множествоX
= X1×...×Xn, то естьX = {x =(x1,. . .,xn)| xi ∈ Xi,i =1,. . .,n}.
Для каждого i =1, ..., n определим функцию Hi : X1×X2×...×Xn →R1.
Процесс бескоалиционной игры кратко можно описать следующим образом.
Участники игры независимо друг от друга выбирают стратегии xi ∈ Xi,i =
1, ..., n. В результате в игре складывается набор стратегий x =(x1,x2, ...,
xn) ∈ X, называемый ситуацией, и i-й игрок получает выигрыш Hi(x). В
качестве исхода игры рассматривается вектор H(x)=(H1(x), ..., Hn(x)).
При этом игрок i предпочитает ситуации x ситуацию x тогда и только тогда,
когда Hi(x) >Hi(x). Если Hi(x)= Hi(x), то ситуации x и x для игрока i
равноценны.
Определение 1. Система
Γ=(N, {Xi}i∈N, {Hi}i∈N),
в которой N = {1, 2, 3, ..., n} - множество игроков, Xi - множество
стратегий игрока i, Hi - функция выигрыша игрока i, определённая на декартовом
произведении множеств стратегий игроков X = Xi (множество
i=1
n
ситуаций игры), называется бескоалиционной игрой.
Рассмотрим теперь частные случаи бескоалиционной игры n лиц.
Определение 2. Если множества стратегий игроков Xi, где i ∈{1, ..., n}
конечны, то игра называется конечной бескоалиционной игрой n лиц.
Определение 3. Бескоалиционная игра Γ, в которой принимают участие
два игрока, называется игрой двух лиц (Γ = (X1,X2,H1,H2)).
Определение 4. Конечная бескоалиционная игра двух лиц называется биматричной.
6
Стр.6
При этом удобно считать, чтоX1 = {1, ..., m},X2 = {1, ..., n}, а функции
H1 и H2 записываются в виде матриц
A =
α11 ... α1n
... . .. ...
αm1 ... αmn
и B =
β11 ... β1n
... . .. ...
βm1 ... βmn
.
Здесь элементы αij = H1(i, j) и βij = H2(i, j) матриц A и B являются соответственно
выигрышами игроков1и2в ситуации (i, j),i ∈ X1,j ∈ X2.
Замечание 1. В процессе биматричной игры игрок 1 выбирает номер i-й
строки, а игрок 2 (одновременно и независимо) - номер j-го столбца матрицы
(A, B). В результате в игре образуется ситуация (i, j), причём игрок
1 получает выигрыш αij, а игрок 2 - выигрыш βij.
Часто биматричную игру записывают в виде
(A,B)=
(α11,β11)
...
... (α1n,β1n)
. .. ...
(αm1,βm1) ... (αmn,βmn)
.
В качестве примера бескоалиционной игры рассмотрим биматричную игру
«Семейный спор».
Пример 1 (Игра «Семейный спор»). Рассматривается биматричная игра
(игра двух лиц) с матрицей
II1
(A,B)=
I1 (4, 1) (0, 0)
I2 (0, 0) (1, 4)
II2
.
Муж (игрок 1) и жена (игрок 2) могут выбрать одно из двух развлечений:
футбольный матч или театр. Таким образом множество стратегий игрока 1
имеет вид X1 = {I1,I2}, где I1 - футбольный матч, I2 - театр, а множество
7
Стр.7
стратегий игрока 2 X2 = {II1,II2}, где II1 - футбольный матч, II2 - театр.
Муж (игрок 1) предпочитает футбольный матч, а жена (игрок 2) - театр. Поэтомув
случае появления ситуации (I1,II1) игрок 1 выигрывает больше чем
игрок 2 (вектор выигрышей (4, 1)), а в ситуации (I2,II2) игрок 2 выигрывает
больше чем игрок 1 (вектор выигрышей (1, 4)). Однако обоим важнее быть
вместе, чем участвовать в развлечении (хотя и предпочтительном) одному,
так как если они имеют разные желания (ситуации (I1,II2) или (I2,II1)),
то в обоих случаях выигрыши игроков 1, 2 равны нулю.
Как уже отмечалось, решить игруозначает рекомендовать каждомуигроку
наилучший (оптимальный) в некотором смысле ход (стратегию). Однако в
теории бескоалиционных игр нет единого подхода к выработке понятия оптимального
хода, так как известно целое множество принципов оптимальности,
дающих различные решения игры. При этом выбор определённого принципа
оптимальности приводит к различным постановкам задачи, что надо искать.
По существу, за одним названием скрываются разные задачи.
Для бескоалиционных игр будут рассмотрены два основных принципа оптимальности:
равновесие по Нэшу, и оптимальность по Парето.
3. Равновесие по Нэшу
Рассмотрим понятие равновесия по Нэшудля бескоалиционной игры n лиц.
Пусть x =(x1, ..., xi−1,xi,xi+1, ..., xn) - произвольная ситуация в бескоалиционной
игре Γ,а xi - некоторая стратегия игрока i. Построим ситуацию,
которая отлична от x только тем, что стратегия xi игрока i заменена на стратегию
xi. В результате мы получаем ситуацию (x1, ...,xi−1,xi,xi+1, ..., xn),
которую будем обозначать через (xxi)= x.
Определение 5. Ситуация x∗ =(x∗
1,. . .,x∗
i , ..., x∗
n) называется ситуацией
равновесия по Нэшу, если для всех xi ∈ Xi и i =1, . .., n имеет место
8
Стр.8