МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ
МНОГОЧЛЕНАМИ.
СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Учебно-методическое пособие
для практических занятий в вузах
Составители:
А.П. Карпова,
М.Н. Небольсина
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
1
Стр.1
ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Интерполяция алгебраическими многочленами
1. 1. Постановка задачи интерполяции
точках , 0,,. Запишем эти значения функции в табл. 1.1.
Таблица 1.1
x
Далее будем считать, что выполнено условие
.
Задача приближенного вычисления для заданной табл. 1.1 значения
функции при , 0,, называется задачей интерполяции
(распространения внутрь).
принимающий в точках , , , те же значения, что и функция :
; , 0,1, ,
гебраический многочлен степени не выше n
; , , , ; ; ,
Решение этой задачи можно найти следующим образом: строится ал(1.1)
(1.2)
Интерполяционным
многочленом (интерполянтой) для табл. 1.1
называется интерполяцией функции с помощью алгебраического многочлена.
называют
экстраполяцией.
Теорема 1.1. Для табл. 1.1 интерполяционный многочлен существует
и единственен.
Для табл. 1.1 с равноотстоящими узлами , 0, , ,
0 введем в рассмотрение конечные разности функции .
Обозначим , 0,,. Величину.
назовем конечной разностью первого порядка функции в точке
.
∆ ∆
3
называется многочлен (1.1) степени не выше , удовлетворяющий условию
(1.2). Точки , , , называются узлами интерполяции.
Вычисление значения при , 0,, по формуле
;
(1.3)
Замечание 1.1. Если , , то вычисление с помощью (1.3)
Пусть для функции : , известны ее значения в (n + 1)-й
Стр.3
имеет вид
Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона
…
где – некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования
,,…, и рассматриваемой точкой .
! ,
1.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна
для интерполирования функции вблизи конца таблицы. В этом случае
обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть имеем систему значений функции 0,1,2,… ,
для равноотстоящих значений аргумента .
Построим интерполирующий полином следующего вида:
….
Или, используя обобщенную степень, получаем
Наша задача состоит в определении коэффициентов 0,1,2,…, полинома
.
.
∆
Подставляя эти значения, получим
!
∆
1! ∆
∆
!
Это вторая интерполяционная формула Ньютона. Введем более
удобную запись формулы (1.8). Пусть
…∆
!
∆
тона.
Это и есть обычный вид второй интерполяционной формулы НьюОстаточный
член второй интерполяционной формулы Ньютона
! ∆…
!
имеет вид
…
где – некоторое промежуточное значение между узлами интерполирова!
,
ния , ,…, и рассматриваемой точкой .
Замечание. 1.3. Как первая, так и вторая, обе интерполяционные
формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функ6
.
Получим
∆.
2!
….
(1.9)
0,1,2,…,.
Стр.6
ции, т.е. нахождения значений функции для значений аргументов , лежащих
вне пределов таблицы. Если и близко к , то применяют
первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда
Если и близко к , то применяют вторую интерполяционную
формулу Ньютона, причем тогда
0.
1.4. Центральные разности
При построении интерполяционных формул Ньютона используются
лишь значения функции, лежащие по одну сторону от выбранного начального
значения, т.е. эти формулы носят односторонний характер.
Введем понятие центральных разностей. Это разности, расположенные
в горизонтальной строке диагональной таблицы разностей данной
функции, соответствующей начальным значениям и , или в строках,
непосредственно примыкающих к ней. Это разности ∆, ∆, ∆, … в
табл. 1.3.
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
Таблица 1.3
∆
< 0.
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
1.5. Интерполяционные формулы Гаусса
где ∆ ,1,, 1,
и для функции известны ее значения в этих узлах
0,1,,.
Требуется построить полином степени не выше 2 такой, что
7
Пусть имеется 2 1 равноотстоящих узлов интерполирования
,,,,,,,,,
Стр.7
Будем искать этот полином в виде
.
при 0,1,,.
Далее, введя переменную
∆
4! ,,
интерполяционную формулу Гаусса
112
4!
разности
Гаусса
∆
211
4!
∆ 1 1
2 1!
1
2! ∆
в которую входят центральные разности
∆, ∆, ∆, ∆, ∆, ∆,
!
1.6. Интерполяционная формула Стирлинга
Взяв среднее арифметическое первой и второй интерполяционных
формул Гаусса, получим формулу Стирлингa
· ∆ ∆
2
1
4!
∆ 1 2
5!
3!
8
2 ∆ 1
· ∆ ∆
2
· ∆ ∆
2
11
3!
∆,
∆
∆
(1.10)
∆
Первая интерполяционная формула Гаусса содержит центральные
∆, ∆, ∆, ∆, ∆, ∆,
!
!
, ∆
1! , ∆
∆
2 1!, ∆
2! , ∆
3! ,
2!.
и сделав замену, получим первую
∆ 1
2! ∆
∆
2112
5!
11
3!
∆
∆.
∆
(1.9)
способ, что и при выводе интерполяционных формул Ньютона, и учитывая
формулу ∆ ∆ , последовательно находим:
Применяя для вычисления коэффициентов 0, 1, , 2 тот же
Аналогично можно получить вторую интерполяционную формулу
Стр.8