МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель
А. А. Куликов
Издательско-полиграфический центр
Воронежского государственного университета
2012
Стр.1
Предисловие
В настоящем пособии рассматривается одна из наиболее сложных тем
курса уравнений математической физики – классификация и приведение к
каноническому виду квазилинейных уравнений с частными производными
второго порядка.
Изложение материала в пособии опирается на результаты, содержащиеся
в курсах математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных
дифференциальных уравнений и теории функций одной и многих комплексных
переменных. В отличие от ряда общедоступных учебников по
уравнениям математической физики значительное внимание в пособии уделено
понятиям вещественного, а также комплексного общего интеграла
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, используемых
соответственно для приведения к каноническому виду уравнений гиперболического
и эллиптического типов.
Пособие предназначено для студентов 3-го курса факультета прикладной
математики, информатики и механики. Оно содержит ряд упражнений
и задач, решение которых позволит успешно освоить рассматриваемую тему.
§
1. Дифференциальные уравнения с двумя
независимыми переменными
Рассмотрим квазилинейное уравнение с частными производными второго
порядка с двумя независимыми переменными x , y :
a11
∂ +∂
u
2
x
11
2
2a x y au
12
∂ ∂ + ∂ +∂
∂
2
22
,
12
,
2
2
y
x , u
y B x, y, u, u
u
⎛
⎜
⎜
⎝
22
∂
∂
∂
∂
называются коэффициентами уравнения (1.1).
Мы будем предполагать, что: 1) коэффициенты 11
ращаются в нуль ни в одной точке этой области; 2) функция B определена
при
непрерывно дифференцируема в Ω.
Зафиксируем произвольную точку
такая, что
11
для всех
общности можно считать, что существует окрестность Ω ⊂ Ω0
a ( x, y ) ≠ 0
3
M ( x , y )0 ∈ Ω. Без ограничения
точки M ,
0 =
0
0
( x, y )∈Ω 0 . Действительно, если
но дифференцируемы в некоторой области Ω⊂ R и одновременно не об(
x, y )∈ Ω; 3) функция u принимает вещественные значения и дважды
2
⎞
⎟
⎠
⎟ = 0,
(1.1)
где a11 = a ( x, y ) a12 = a ( x, y ) a22 = a ( x,y ) и B – заданные вещественные
функции, u = u( x, y ) – неизвестная функция. Функции 11a , 12
12
a , a 22
a , a , a 22 непрерыв
Стр.3
= v
uyy = v
ние
где
A a11
11 =
A a11
12 =
A a11
22 =
x + 2a12
2
x x + ⋅ (
a12
2
x y
x + 2a12
x y + a , (1.11)
)+ a22
22
+
B
~ – функция, зависящая в общем случае от
y x
x y + a , (1.13)
, v , v , v и от частных
22
,
производных до второго порядка включительно функций
и
ние (1.10) также будет линейным.
Упражнение 2. Непосредственной проверкой убедиться, что
2
A A A = a12 − 11 22
2
11 22
Выберем функции
ты 11A и 22
=
a11
a11
11
0
x + 2a12
2
2
( x, y ) и
=
A обращались в нуль в области 0
x + 2a12
рассматривать уравнение (1.15).
Так как
сать в виде
(
где
6
x + 1
y
) (
x + 2
y =) 0 ( x, y ) V∈ , (1.17)
,
0
x y + a22
x y + a22
12 − ()⎜
2
D( x,y )
a a D( ξ ,η)
⎛
⎜
⎝
ны удовлетворять дифференциальным уравнениям
0
y =
2
2
⎞
⎟
⎠
⎟ . (1.14)
( x, y ) так, чтобы коэффициенV
. Тогда функции
и
y = . (1.16)
, (1.15)
0
Уравнения (1.15) и (1.16) идентичны, поэтому в дальнейшем будем
a ( x, y ) ≠ при ( x, y ) V∈ , то уравнение (1.15) можно запи0
должпо
переменным
x и y .
Упражнение 1. Показать, что если уравнение (1.1) линейно, то уравне2
y
2
y
y
y
, (1.12)
x y + ⋅ (
v
v
y + 2v
2
x y
xy + v
+
xy
y y + v
y x
)+ v
y + v
2
x y
+
+ , (1.8)
yy
yy + v
. (1.9)
Подставив выражения (1.3) – (1.9) в уравнение (1.1), получим уравне~
A
v
11
+ 2A v A v B+ = 0, (1.10)
12
+
22
ηη
ξη
ξη
ξξ
ξξ
ξη
ξ
ξ
ξ
ξξ
ξξ
η
η
ξη
ξη
ξ
η
ηη
η
ηη
ξξ
ξ
ξη
ξη
η
η
ξ
ϕ
ξ
ψ
ξ
ξξ
η
ξ
λ
ξ
ξ
ηη
λ
ξ
η
ξ
ξη
ηη
ξη
η
ξ
η
η
ξ
ξ ξ
η η
ηη
ξ
ξ
η
η
Стр.6
1 = 1( , ) = 12
x y a ( x, y )
11
2 = 2 ( , ) = 12
d( x, y ) a ( x, y ) a ( x, y )a ( x, y ) .
= 12
2
− 11
22
ния обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка [3, § 1].
Пусть
вокупность всех непрерывных в области G функций, а через
k = 1, , …2
рывные частные производные до порядка k включительно.
Пусть
( x, y ) – функция класса
ется, что функции
Будем говорить, что соотношение
C (G )
1
y
C (G )
k
Задание 2. Повторить теорему существования и единственности реше2
–
совокупность всех функций, имеющих в этой области непреC(G
), для которой существует производная g ( x, y ) C(G ). Предполагаи
g принимают вещественные значения.
и g( x, y ) – функция класса
∈
( x, y ) = const является общим интегралом
(вещественным общим интегралом) обыкновенного дифференциального
уравнения
d x g( x, y )
d y =
в области G, если для любой фиксированной точки
постоянная
вию
x − 0 , такая, что: 1) для любого x , удовлетворяющего усло,
существует единственное решение y f ( x,C )*
уравнеG
R⊂ – некоторая область. Через C(G ) будем обозначать со,
где
+
x y a ( x, y )
11
d( x, y )
a ( x, y )
−
d( x, y )
a ( x, y )
,
,
λ
λ
λ
μ
δ
μ
μ
μ
μ
δ δ
δ
μ
μ
μ
μ
δ
λ
μ
Стр.7
уравнения (1.18) в области G, чем и объясняется, что оно носит название
«общий интеграл уравнения (1.18) в области G».
Заметим, что если
0
y ( x, y ) ≠ 0 в области G, то, в силу теоремы о неявной
функции, условие 1) в определении общего интеграла будет выполнено.
функция
Т
е о р е м а. Пусть d( x, y )≥ 0 при ( x, y ) V∈ . Тогда для того, чтобы
=
димо и достаточно, чтобы соотношение
d x
d y
=
1
тегралом одного из обыкновенных дифференциальных уравнений
( x, y )
или
d x
d y
в области 0V .
Д о к а з а т е л ь с т в о
Н е о б х о д и м о с т ь. Предварительно отметим, что в силу условия
d( x, y )≥ 0 функции
1( x, y ) и
ния.
Пусть функция
=
( x, y ) является в области 0V решением уравнения
(1.15), или, что то же самое, уравнения (1.17), то есть
(
x + 1
1
1
y
) (
якобиан
нений
или
x +
2
y = 0 ( x, y ) V∈ . (1.23)
,
0
D( x, y )
D( ,ψ)
x +
2
1
Если предположить, что в некоторой точке
y ( x , y ) = 0 , то из (1.21) будет следовать, что
1
обращается в нуль в точке ( x , y )1
определению области 0V . Поэтому
В силу (1.21) функция
y =) 0 , ( x, y ) V∈ . (1.21)
( x , y ) V∈ 0
0
1
1
1
x ( x , y ) = 0. Но тогда
, что противоречит
y ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x, y ) V∈ .
0
( x, y ) должна удовлетворять одному из уравx
+ 1
y = 0 ( x, y ) V∈ 0
,
(1.22)
2 ( x, y ) принимают вещественные значе=
2
( x, y )
(1.20)
(1.19)
( x, y ) была решением уравнения (1.15) в области 0V , необхо(
x, y ) = const было общим ин8
ϕ
μ
λ
λ
ξ
ϕ
λ
λ
λ
ξ
ϕ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
ϕ
Стр.8