Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
В. Ф. Чаплыгин
Введение
в математический анализ
Методические указания
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальностям
Физика, Телекоммуникации, Радиотехника
Ярославль 2010
Стр.1
УДК 517
ББК В 16я73
Ч 19
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009 года
Рецензент:
Ч 19 Чаплыгин, В. Ф. Введение в математический анализ:
метод. указания / В. Ф. Чаплыгин; Яросл. гос. ун-т
им. П. Г. Демидова. – Ярославль : ЯрГУ, 2010. – 44 с.
В методических указаниях охвачены те разделы математики,
которые необходимо знать для изучения математического
анализа. В качестве приложения приведены два
теста. Тест I рекомендуется выполнить перед изучением
указаний, а тест II – после.
Предназначены для студентов, обучающихся по специальностям
010701.65 Физика, 210400.62 Телекоммуникации,
210302.65 Радиотехника (дисциплина «Математический
анализ», блок ОПД), очной формы обучения.
УДК 517
ББК В 16я73
Ярославский
государственный
университет
им. П. Г. Демидова, 2010
2
Стр.2
Множества, операции над множествами
Множество относится к неопределяемым понятиям. Под
ним подразумевается набор, совокупность, класс некоторых
объектов, элементов, объединенных по определенному признаку.
Набор, состоящий из трех букв а, b и с является множеством,
и его можно обозначить так: А={а, b, с}. Можно говорить о
множестве натуральных чисел от 1 до n включительно, будем
называть его отрезком натурального ряда и обозначать In. Так,
I5={1, 2, 3, 4, 5}, I100={1, 2, 3, 4, …, 100}. Множество всех
натуральных чисел обозначается ℕ={1, 2, 3, …, n, …}. Все
четыре множества точно описаны. Определено, какие объекты
принадлежат тому или иному множеству. Тот факт, что элемент с
принадлежит множеству А, записывается в виде с∊А. То, что
число 6 не принадлежит множеству I5, обозначается так: 6∉I5.
Если все элементы множества А являются элементами множества
В, то А называется подмножеством В, или, говорят, А включено
в В, и символически это записывается так: А⊂В. В наших
примерах I5⊂ℕ, I100⊂ℕ, In⊂ℕ для любого n. Особую роль играет
так называемое пустое множество – это множество, не
содержащее ни одного элемента, его обозначают символом ∅ и
по определению считают, что для любого множества Е, ∅⊂Е.
Рассмотрим две основные операции над множествами:
объединение и пересечение.
Пусть взяты два множества А={1, 2, 3, 4, 5, 6} и В={4, 5, 6, 7,
8}. Тогда под их объединением понимается множество А∪В={1,
2, 3, 4, 5, 6, 7,8}, то есть к элементам множества А добавлены
элементы из В, которые не содержались в А. Пересечением
множеств А и В является множество А∩В={4, 5, 6}, то есть оно
содержит те элементы, которые одновременно принадлежат как
множеству А, так и множеству В. Если множества А и В не
содержат общих элементов, то А∩В=∅. Так, если А={а, b, с},
3
Стр.3
В={d, e}, то А∩В=∅. Можно говорить об объединении и
пересечении трех, четырех и более множеств. Так, если говорить
о множествах натуральных чисел, дающих при делении на 3 в
остатке 0, 1, 2, то их объединение дает все множество ℕ. Если
взять три множества натуральных чисел, кратных 2, 3 и 5, то
пересечением этих множеств будет множество натуральных
чисел, кратных 30. Если же взять множество всех нечетных
натуральных чисел и множество всех четных натуральных чисел,
то пересечением этих множеств будет пустое множество, то есть
∅. Эти операции можно иллюстрировать на так называемых
кругах Венна.
Рис. 1
Так, если А – это левый круг, а В – правый, то их пересечение
показано двойной штриховкой, а объединение – горизонтальной
штриховкой (см. рис. 1).
Функции, отображения
Пусть имеются два множества D и Е. Соответствие, которое
каждому элементу x∊D относит некоторый элемент y∊Е,
называется отображением D в Е. При этом множество D
называется областью определения. Элемент x∊D называется
4
Стр.4
аргументом, а элемент y∊Е называется значением отображения
или образом элемента x.
Отображение называют функцией и записывают y=f(x) или
x→ f(x), читается: x соответствует f(x), при этом x называют
прообразом y и обозначают f -1(y), используется ещё обозначение
f: D→E.
Две функции f(x) и g(x), называются равными, если совпадают
их области определения и для любого x из области
определения выполнено равенство f(x) = g(x).
Взаимно однозначное соответствие
Соответствие между двумя множествами А и В называется
взаимно однозначным, если каждому элементу множества А
сопоставляется единственный элемент из множества В и каждому
элементу множества В сопоставляется ровно один элемент из
множества А.
Так, если А={а, b, с} и В={1, 2, 3} и соответствие определено
следующим образом: f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3, то оно является
взаимно однозначным. Если же определить другое отображение
(a)=1,
из А в В так, что
(b)=1,
(с)=2, то оно не будет
взаимно однозначным, так как элементу 1 ∊ В отвечают два элемента
из А, два прообраза и элементу 3 ∊ В не отвечает никакой
элемент из А.
Между множествами А={а, b, с} и В={1, 2, 3, 4} нельзя
установить взаимно однозначное соответствие. Если бы оно
существовало, то образов f(a), f(b), f(c) было бы три, а элементов в
В – четыре. Или прообразов f -1(1), f -1(2), f -1(3), f -1(4) было бы
четыре, но элементов в А только три.
Назовем множество А конечным, если между ним и некоторым
отрезком In натурального ряда можно установить взаимно
однозначное соответствие. Множество А={а, b, с} конечное (это
было показано). Если между множествами А и В можно
установить взаимно однозначное соответствие, они называются
5
Стр.5