Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Кафедра дискретного анализа
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
СБОРНИК ЗАДАЧ
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов, обучающихся по специальностям
Прикладная математика и информатика,
Прикладная информатика (в экономике),
Информационные технологии
Ярославль 2009
Стр.1
УДК 519.2
ББК В 171я73-4 + В 172я73-4
Т 11
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2009 года
Рецензент
кафедра дискретного анализа ЯрГУ им. П.Г. Демидова
Составители: Ю.В. Богомолов, А.Н. Максименко,
А.Н. Морозов
Т 11 Теория вероятностей и математическая статистика:
сборник задач / сост. Ю.В. Богомолов, А.Н. Максименко,
А.Н. Морозов. — 2-е изд., перераб. и доп. — Яросл. гос. ун-т.
— Ярославль: ЯрГУ, 2009. — 111 с.
Сборник содержит более 400 задач по темам «Случайные
события» и «Случайные величины». На все вычислительные
задачи даны ответы. Кроме того, сборник снабжен приложениями,
содержащими справочный материал: таблицы значений
функции плотности нормального распределения и функции
Лапласа.
Предназначен для студентов, обучающихся по специальностям
010501 прикладная математика и информатика,
080801 прикладная информатика (в экономике) и 010400 информационные
технологии, очной формы обучения (дисциплина
«Теория вероятностей», блок ЕН), очной формы обучения.
УДК
519.2
ББК В 171я73-4 + В 172я73-4
- Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова, 2009
c
Составители: БогомоловЮрий Викторович
Максименко Александр Николаевич
Морозов Анатолий Николаевич
Редактор, корректор И.В. Бунакова
Компьютерная верстка А.Н. Максименко
Подписано в печать 23.04.2009. Формат 60х84/16.
Бумага тип. Усл. печ. л. 6,51. Уч.-изд. л. 4,7.
Тираж 200 экз.
Учебное издание
Теория вероятностей
и математическая статистика
Сборник задач
Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.
Отпечатано на ризографе.
Ярославский государственный университет
150000 Ярославль, ул. Советская, 14.
Стр.2
Таблица значений функции Φ(x) = 1√2π
Приложение 2
x
0
e
−t2
2
dt
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753
0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141
1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517
1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879
1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224
2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549
2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852
2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133
3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389
1,0 0,3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
3643 3665 3680 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830
3849 3869 3883 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015
4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177
4192 4207 4222 4230 4251 4265 4279 4292 4305 4319
4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441
4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545
4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633
4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706
4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767
2,0 0,4773 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
Φ(3, 0) = 0, 49865; Φ(3, 2) = 0, 49931;
Φ(3, 6) = 0, 499841; Φ(3, 8) = 0, 499928;
Φ(4, 5) = 0, 499997; Φ(5, 0) = 0, 49999997.
Φ(3, 4) = 0, 49966;
Φ(4, 0) = 0, 499968;
4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857
4861 4865 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4890
4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916
4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4934 4936
4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952
4953 4955 4956 4957 4959 4960 4961 4962 4963 4964
4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974
4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4980 4980 4981
4981 4982 4983 4984 4984 4984 4985 4985 4986 4986
Содержание
1 Случайные события
4
1.1 Основные понятия.
Классическое определение вероятности . . . . . . . . . 4
1.2 Комбинаторные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Применение комбинаторики к вычислению
вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Геометрические вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Условные вероятности. Независимость событий . . . . . 30
1.6 Вероятности сложных событий . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Повторение испытаний. Формула Бернулли . . . . . . . 53
1.10 Приближенные формулы Пуассона и Муавра–Лапласа 58
1.11 Вероятность отклонения относительной частоты . . . . 62
2 Случайные величины
65
2.1 Законы распределения дискретных случайных величин 65
2.2 Случайные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Числовые характеристики дискретных случ. величин . 72
2.4 Ковариация, коэффициент корреляции . . . . . . . . . 80
2.5 Полное математическое ожидание . . . . . . . . . . . . 84
2.6 Функция и плотность распределения случ. величины . 88
2.7 Числовые характеристики НСВ . . . . . . . . . . . . . . 93
2.8 Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
ОТВЕТЫ
Список литературы
Приложения
101
108
109
Стр.3
1 Случайные события
1.1 Основные понятия.
Классическое определение вероятности
Событие называется случайным, если в данном опыте оно может произойти
или не произойти. Случайные события обозначаем A,B,C, . . .
Под вероятностью события понимается степень (мера) нашей уверенности
в его наступлении, основанная на объективной оценке доли случаев его
появления. Вероятность события A обозначается P(A).
Достоверным называется событие Ω, которое в результате опыта непременно
должно произойти.
P(Ω) = 1.
жет произойти.
Невозможным называется событие ∅, которое в результате опыта не моP(∅)
= 0.
Вероятность любого события A заключена между нулем и единицей:
0 P(A) 1.
Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате
опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
Несколько событий называются несовместными, если никакие два из них
не могут появиться вместе.
Несколько событий называются равновозможными, если по условиям
симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным,
чем любое другое.
Если несколько событий образуют полную группу и несовместны, то они
называются элементарными событиями или исходами. Если, кроме того, все
они равновозможны, то их называют шансами.
Исход называется благоприятным событию, если появление этого исхода
влечет за собой появление события.
Если результаты опыта сводятся к схеме шансов, то вероятность события
A определяется формулой
P(A) = NA
N ,
где N — общее число исходов,
NA — число исходов, благоприятных событию A.
Пример 1. Из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} наудачу выбрано число
q, после чего составлено уравнение x2+4x+q = 0. Какова вероятность того,
Приложение 1
Таблица значений функции ϕ(x) = 1√2π e
−x2
2
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920
2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736
1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957
0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
0170 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107
0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
Стр.4
1.1 Основные понятия. Классическое определение вероятности 5
Список литературы
[1] Андрухаев, Х.М. Сборник задач по теории вероятностей /
Х.М. Андрухаев. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2005.
[2] Вентцель, Е.С. Теория вероятностей: задачи и упражнения /
Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. — Изд. 2-е, стер. — М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1973.
[3] Володин, Б.Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций / Б.Г. Володин
и др.; под ред. А.А. Свешникова. — Изд. 2-е, доп. — М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970.
[4] Вуколов, Э.А. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3.
Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие
для втузов / Э.А. Вуколов и др.; под ред. А.В. Ефимова. — 2-е
изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.
[5] Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике: учеб. пособие для студентов
вузов / В.Е. Гмурман. — Изд. 5-е, стер. — М.: Высш. шк., 1999.
[6] Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных
задач с решениями: пер. с англ. / Ф. Мостеллер.
— 2-е изд. — М.: Наука, 1975. (Электронный вариант:
http://ilib.mccme.ru/djvu/50zadach.htm)
[7] Севастьянов, Б.А. Сборник задач по теории вероятностей /
Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков, А.М. Зубков. — М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1980.
[8] Сотникова, Н.Я. Первоапрельский задачник по теории вероятностей
для студентов нематематематиков / Н.Я. Сотникова. —
www.astro.spbu.ru/staff/nsot/Teaching/tver/zadachi.html
[9] Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Т. 1: пер. с англ. / В. Феллер. — М.: Мир, 1984.
что корни этого уравнения окажутся
а) действительными числами, б) целыми числами?
Cобытия, о которых идет речь в задаче:
A = {корни действительные},
B = {корни целые}
Элементарными событиями в данной задаче можно считать извлечения
одного из данных чисел (то есть извлечение числа 0, числа 1, числа 2 и так
далее). Общее количество исходов:
N = 10.
Для нахождения исходов, благоприятных событию A, достаточно найти
количество целых чисел q от 0 до 9, для которых дискриминант квадратного
уравнения x2 +4x+q = 0 неотрицателен:
D = 42
−4q = 4(4−q) 0.
Легко видеть, что таких чисел всего 5 (это 0, 1, 2, 3, 4). Поэтому количество
благоприятных для события A исходов равно
NA = 5.
Отсюда вероятность события
P(A) = NA
N = 5
10 = 1
2.
Аналогично находим вероятность события B. Под исходами будем понимать
то же, что и в предыдущем случае. Их количество соответственно
останется прежним. Благоприятные для события B исходы, как можно легко
заметить, содержатся в благоприятных исходах для A (действительно,
для наличия целых корней необходимо, чтобы были хоть какие-то корни).
Поэтому для выявления благоприятных исходов можно просто подставить в
уравнение x2+4x+q = 0 значения q равные 0, 1, 2, 3, 4 (при подстановке которых
уравнение имеет корни) и выбрать из них те, при которых корни целые.
Непосредственная проверка показывает, что такому условию удовлетворяют
числа 0, 3, 4. Значит, количество благоприятных для B исходов
NB = 3.
Тогда вероятность соответствующего события
P(B) = NB
N = 3
10.
Стр.5